Kronecker-product

Het kronecker-product is genoemd naar de Duitse wiskundige Leopold Kronecker. Er is echter weinig historisch bewijs dat Kronecker de eerste was die het begrip gebruikte en in het verleden werd het kronecker-product soms de Zehfuss-matrix genoemd, naar Johann Georg Zehfuss.

Het kronecker-product van de ${\displaystyle m\times n}$ -matrix ${\displaystyle A}$ en de ${\displaystyle p\times q}$ -matrix ${\displaystyle B}$ is de ${\displaystyle mp\times nq}$ -blokmatrix

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\ldots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\ldots &a_{mn}B\end{bmatrix}}}$

Expliciet:

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\ldots &a_{11}b_{1q}&\ldots &\ldots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\ldots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\ldots &a_{11}b_{2q}&\ldots &\ldots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\ldots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\ldots &a_{11}b_{pq}&\ldots &\ldots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\ldots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\ldots &a_{m1}b_{1q}&\ldots &\ldots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\ldots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\ldots &a_{m1}b_{2q}&\ldots &\ldots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\ldots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\ldots &a_{m1}b_{pq}&\ldots &\ldots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\ldots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Voorbeelden

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}}$ .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&a_{11}b_{13}&a_{12}b_{11}&a_{12}b_{12}&a_{12}b_{13}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&a_{11}b_{23}&a_{12}b_{21}&a_{12}b_{22}&a_{12}b_{23}\\a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&a_{21}b_{13}&a_{22}b_{11}&a_{22}b_{12}&a_{22}b_{13}\\a_{21}b_{21}&a_{21}b_{22}&a_{21}b_{23}&a_{22}b_{21}&a_{22}b_{22}&a_{22}b_{23}\\a_{31}b_{11}&a_{31}b_{12}&a_{31}b_{13}&a_{32}b_{11}&a_{32}b_{12}&a_{32}b_{13}\\a_{31}b_{21}&a_{31}b_{22}&a_{31}b_{23}&a_{32}b_{21}&a_{32}b_{22}&a_{32}b_{23}\end{bmatrix}}}$

Bilineair, associatief en distributief ten opzichte van de optelling

${\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\qquad }$

${\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\qquad }$

${\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B)}$

${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)}$

${\displaystyle (AB)\otimes (CD)=(A\otimes C)(B\otimes D)}$

waarin ${\displaystyle A,B,C}$ en ${\displaystyle D}$ matrices zijn en ${\displaystyle k}$ een scalair.

Het kronecker-product is niet commutatief omdat in het algemeen ${\displaystyle A\otimes B}$ en ${\displaystyle B\otimes A}$ verschillende matrices zijn.${\displaystyle A\otimes B}$ en ${\displaystyle B\otimes A}$ zijn wel permutatie-equivalent omdat er permutatiematrices ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$ bestaan zodanig dat

${\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q}$