Debye-lengde

Debye-lengden oppstår naturlig i den termodynamiske beskrivelsen av store systemer for mobilavgifter. I et system av ${\displaystyle N}$ forskjellige specier av ladninger, ${\displaystyle j}$ specier som bærer ladning ${\displaystyle q_{j}}$ og har konsentrasjon ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ved possisjon ${\displaystyle \mathbf {r} }$ . Ifølge den såkalte "primitive modellen" fordeles disse ladningene i et kontinuerlig medium som bare er preget av sin relative statiske permittivitet., ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ . Denne fordelingen av ladninger innenfor dette mediet gir et elektrisk potensial ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ som tilfredsstiller Poissons ligningen:

${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$ ,

hvor ${\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}$ , ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ er den elektriske konstanten, og ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}}$ er en ladetetthet utenfor (logisk, ikke romlig) til mediet.

De mobile ladningene bidrar ikke bare til å etablere ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ men også bevege seg som svar på den tilhørende Coulomb-kraften,${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ .Hvis vi videre antar at systemet er i termodynamisk likevekt med et varmebad ved absolutt temperatur ${\displaystyle T}$ , deretter vil konsentrasjonene av diskrete ladninger, ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ , kan betraktes som termodynamiske (ensemble) gjennomsnitt og det tilhørende elektriske potensialet for å være et termodynamisk middelfelt. Med disse antagelsene, konsentrasjonen av ${\displaystyle j}$ ladde specier bli beskrevet av Boltzmann-distribusjonen,

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)}$ ,

hvor ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ er Boltzmanns konstant og hvor ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ er den gjennomsnittlige konsentrasjonen av ladninger av specie ${\displaystyle j}$ .

Å identifisere de øyeblikkelige konsentrasjonene og potensialet i Poisson-ligningen med deres gjennomsnittsfelt-kolleger i Boltzmanns fordeling, gir Poisson-Boltzmann-ligningen:

${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$ .

Løsninger på denne ikke-lineære ligningen er kjent for noen enkle systemer. Løsninger for mer generelle systemer kan oppnås i grensen for høy temperatur (svak kobling), ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T}$ ,av Taylorutvidelsen eksponentiell:

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}}$ .

Denne tilnærmingen gir den lineariserte Poisson-Boltzmann-ligningen

${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$

som også er kjent som Debye–Hückel-ligningen:^{[2][3][4][5][6]} Det andre begrepet på høyre side forsvinner for systemer som er elektrisk nøytrale. Begrepet i parentes delt på ${\displaystyle \varepsilon }$ , har enhetene med en omvendt lengde i kvadrat og fører ved dimensjonsanalyse til definisjonen av den karakteristiske lengdeskalaen

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$

som ofte kalles Debye–Hückel-lengden. Som den eneste karakteristiske lengdeskalaen i Debye–Hückel-ligningen, ${\displaystyle \lambda _{D}}$ setter skalaen for variasjoner i potensialet og i konsentrasjonene av ladede specier. Alle ladede specier bidrar til Debye–Hückel-lengden på samme måte, uavhengig av tegnet på ladningen. For et elektrisk nøytralt system blir Poisson-ligningen

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}$

For å illustrere Debye-screening, potensialet som produseres av en ekstern punktladning ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}$ is

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}$

Coulomb-potensialet blir eksponentielt screenet av mediet over en avstand av Debye-lengden.

Lengden på Debye–Hückel kan uttrykkes i form av Bjerrum-lengden ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ som

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2}}$ ,

hvor ${\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}$ er heltallsladingstallet som relaterer ladningen på ${\displaystyle j}$ ioniske specier til elementærladningen ${\displaystyle e}$ .

I et ikke-isotermisk plasma kan temperaturene for elektroner og tunge specier variere mens bakgrunnsmediet kan behandles som vakuum (${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$ ), og Debye-lengden er

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{i}}}}}$

hvor

λ_D er Debye-lengden,

ε₀ er permittiviteten til ledig plass,

k_B er Boltzmanns konstant,

q_e er ladningen til et elektron,

T_e og T_i er temperaturene til henholdsvis elektronene og ionene,

n_e er tettheten til elektroner,

n_j er tettheten til atomarter j, med positiv ionisk ladning z_jq_e

Selv i kvasineutralt kaldt plasma, hvor ionebidrag praktisk talt ser ut til å være større på grunn av lavere ionetemperatur, faller ionebetegnelsen ofte, noe som gir

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}$

selv om dette bare er gyldig når mobiliteten til ioner er ubetydelig sammenlignet med prosessens tidsskala.^[7]

Vanlige verdier

I romplasmaer der elektrondensiteten er relativt lav, kan Debye-lengden nå makroskopiske verdier, slik som i magnetosfæren, solvinden, det interstellare mediet og det intergalaktiske mediet. Se tabellen nedenfor:^[8]

I en elektrolytt eller en kolloid suspensjon er Debye-lengden^[9][10][11] for en monovalent elektrolytt betegnes vanligvis med symbolet κ⁻¹

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2\times 10^{3}N_{\rm {A}}e^{2}I}}}}$

hvor

I er ionestyrken til elektrolytten i molare enheter (M eller mol/L),

ε₀ er permittiviteten til vaccum,

ε_r er den dielektriske konstant,

k_B er Boltzmanns konstant,

T er den absolutte temperaturen i kelvin,

N_A er Avogadros tall.

${\displaystyle e}$ er elementærladningen,

eller for en symmetrisk monovalent elektrolytt,

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}}$

hvor

R er gasskonstanten,

F er Faradays konstant,

C₀ er elektrolyttkonsentrasjonen i molar enheter (M ellermol/L).

Alternativt,

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{3}I}}}}$

hvor

${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ er Bjerrum-lengden på mediet.

For vann ved romtemperatur, λ_B ≈ 0.7 nm.

Ved romtemperatur (20 ° C eller 70 ° F) kan man vurdere forholdet i vann:^[12]

${\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}$

hvor

κ⁻¹ er utrykt i nanometer (nm)

I er ionestyrken uttrykt i molar (M eller mol/L)

Det er en metode for å estimere en omtrentlig verdi av Debye-lengden i væsker ved bruk av ledningsevne, som er beskrevet i ISO-standard,^[9] og boka.^[10]

Debye-lengden har blitt stadig viktigere i modelleringen av solid state-enheter ettersom forbedringer i litografisk teknologier har muliggjort mindre geometrier.^[13][14][15]

Debye-lengden på halvledere er gitt:

${\displaystyle L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}}$

hvor

ε er den dielektriske konstanten,

k_B er Boltzmanns konstant,

T er den absolutte temperaturen i kelvin,

q er elementærladning, og

N_dop er netto tetthet av dopanter (enten givere eller akseptorer).

Når dopingprofiler overstiger Debye-lengden, oppfører ikke majoritetsbærerne seg lenger i henhold til fordelingen av dopantene. I stedet gir et mål på dopinggradientprofilen en "effektiv" profil som bedre samsvarer med profilen til majoritetsbærertettheten.

I sammenheng med faste stoffer kalles Debye-lengden også Thomas–Fermi screeninglengde.