L^p-rom

La ${\displaystyle (\Omega ,A,\mu )}$ være et målrom og ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ kan man definere en norm gitt ved

${\displaystyle ||f||_{p}=(\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu )^{1/p}}$

for ${\displaystyle p<\infty }$ , og

${\displaystyle ||f||_{\infty }=inf\{M:|f|\leq M\}}$

nesten overalt (med hensyn til målet ${\displaystyle \mu }$ ). Da er det korresponderende L^p-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).^[1]

Man kan tenke på ${\displaystyle L^{p}}$ -rom som en generalisering av ${\displaystyle L^{2}}$ -rom, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis

${\displaystyle |f|_{2}=(\int _{\Omega }|f|^{2}d\mu )^{1/2}}$

er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f{\overline {g}}d\mu }$

definert over et funksjonsrom.

Dersom ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ er det vanlig å referere til ${\displaystyle L^{p}}$ -rommet som ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ .^[1]

Dersom ${\displaystyle \mu }$ er tellemålet er det vanlig å referere til ${\displaystyle L^{p}}$ -rommet som ${\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}(\Omega )}$ , eller bare ${\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}}$ .^[1]

For alle L^p-rom gjelder følgende:^[1]

1. For alle ${\displaystyle f\in L^{p}}$ og alle skalarer ${\displaystyle \alpha }$ gjelder

   ${\displaystyle ||\alpha f||_{p}=|\alpha |||f||_{p}}$

2. ${\displaystyle L^{p}}$ er et vektorrom
3. For alle ${\displaystyle f\in L^{p}}$ finnes det en følge av enkle funksjoner ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ i L^p som konvergerer til f nesten overalt:
   1. ${\displaystyle s_{n}\to f}$
   2. ${\displaystyle ||f-s_{n}||_{p}\to 0}$
   3. ${\displaystyle \int _{\Omega }|s_{n}|^{p}d\mu \to \int {\Omega }|f|^{p}d\mu }$

Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ og ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ , og slik at ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ , og ${\displaystyle f,g}$ to A-målbare funksjoner, har vi at

${\displaystyle ||fg||_{1}=\int _{\Omega }|fg|d\mu \leq ||f||_{p}||g||_{p}}$

med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ som ikke begge er 0, slik at

${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$ .^[1]

Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis ${\displaystyle p=q=2}$ får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.

Dersom vi jobber med funksjonsrom over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , der ${\displaystyle \Omega }$ f.eks. kan være et interval ${\displaystyle [a,b]}$ kan ulikheten uttrykkes som

${\displaystyle \int _{a}^{b}|fg|dx\leq ||f||_{p}||g||_{p}.}$

La ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ igjen. Da gjelder

${\displaystyle ||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}}$

for alle ${\displaystyle f,g\in L^{p}(\mu )}$ .^[1]

Dette kalles for Minkowskis ulikhet.

For ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ er ${\displaystyle (L^{p}(\mu ),||\cdot ||_{p})}$ et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved ${\displaystyle ||\cdot ||_{p}}$ , altså et Banach-rom.^[1]

Dette kalles for Riesz' teorem. For ${\displaystyle 0<p<1}$ har vi at ${\displaystyle L^{p}}$ fortsatt er et vektorrom, men || · ||_p er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for ${\displaystyle 0<p<1}$ er ${\displaystyle L^{p}}$ et metrisk rom.^[1] For ${\displaystyle p=2}$ er ${\displaystyle L^{p}}$ også et Hilbertrom.

• John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1. 

• (en) Eric W. Weisstein, Lp-space i MathWorld.