Autoproblema não linear

Na disciplina de álgebra linear numérica, normalmente é utilizada a seguinte definição.^[1][2][3][4]

Seja ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ , e seja ${\displaystyle M:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n\times n}}$ uma função que leva escalares em matrizes. Um escalar ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ é chamado de autovalor, e um vetor não nulo ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ é chamado de autovetor à direita se ${\displaystyle M(\lambda )x=0}$ . Além disso, um vetor não nulo ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{n}}$ é chamado de autovetor à esquerda se ${\displaystyle y^{H}M(\lambda )=0^{H}}$ , onde o sobrescrito ${\displaystyle ^{H}}$ denota a transposição hermitiana. A definição de autovalor é equivalente a ${\displaystyle \det(M(\lambda ))=0}$ , em que ${\displaystyle \det()}$ denota o determinante.^[1]

Geralmente exige-se que a função ${\displaystyle M}$ seja uma função holomorfa de ${\displaystyle \lambda }$ (em algum domínio ${\displaystyle \Omega }$ )

Em geral, ${\displaystyle M(\lambda )}$ poderia ser uma transformação linear, mas mais comumente é uma matriz de dimensão finita, geralmente quadrada.

Definição: O problema é considerado regular se existir algum ${\displaystyle z\in \Omega }$ tal que ${\displaystyle \det(M(z))\neq 0}$ . Caso contrário, é considerado singular.^[1][4]

Definição: diz-se que um autovalor ${\displaystyle \lambda }$ tem multiplicidade algébrica ${\displaystyle k}$ se ${\displaystyle k}$ é o menor inteiro tal que a ${\displaystyle k}$ -ésima derivada de ${\displaystyle \det(M(z))}$ em relação a ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle \lambda }$ é diferente de zero. Em fórmulas, isso significa que ${\displaystyle \left.{\frac {d^{k}\det(M(z))}{dz^{k}}}\right|_{z=\lambda }\neq 0}$ mas ${\displaystyle \left.{\frac {d^{\ell }\det(M(z))}{dz^{\ell }}}\right|_{z=\lambda }=0}$ para ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,k-1}$ .^[1][4]

Definição: a multiplicidade geométrica de um autovalor ${\displaystyle \lambda }$ é a dimensão do espaço nulo de ${\displaystyle M(\lambda )}$ .^[1][4]

Os exemplos a seguir são casos especiais do problema de autovalor não linear.

• O problema de autovalor (usual): ${\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda I.}$
• O problema de autovalor generalizado: ${\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda B.}$
• O problema de autovalor quadrático: ${\displaystyle M(\lambda )=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda ^{2}A_{2}.}$
• O problema de autovalor polinomial: ${\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=1}^{m}\lambda ^{i}A_{i}.}$
• O problema de autovalor racional: ${\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=1}^{m_{1}}A_{i}\lambda ^{i}+\sum _{i=1}^{m_{2}}B_{i}r_{i}(\lambda ),}$ em que ${\displaystyle r_{i}(\lambda )}$ são funções racionais.
• O problema de autovalor com atraso: ${\displaystyle M(\lambda )=-I\lambda +A_{0}+\sum _{i=1}^{m}A_{i}e^{-\tau _{i}\lambda },}$ em que ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\dots ,\tau _{m}}$ são escalares dados, conhecidos como atrasos.

Definição: Let ${\displaystyle (\lambda _{0},x_{0})}$ um autopar. Uma tupla de vetores ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}$ é chamada de cadeia de Jordan se

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\ell }M^{(k)}(\lambda _{0})x_{\ell -k}=0,}$$

${\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}$

${\displaystyle M^{(k)}(\lambda _{0})}$

${\displaystyle k}$

${\displaystyle M}$

${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$

${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1}}$

${\displaystyle r}$

${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle x_{0}}$

Teorema:^[1] Uma tupla de vetores ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}$ é uma cadeia de Jordan se, e somente se, a função ${\displaystyle M(\lambda )\chi _{\ell }(\lambda )}$ tem uma raiz em ${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$ e a raiz é de multiplicidade pelo menos ${\displaystyle \ell }$ para ${\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}$ , em que a função a valores vetoriais ${\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )}$ é definida como

$${\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )=\sum _{k=0}^{\ell }x_{k}(\lambda -\lambda _{0})^{k}.}$$

A não linearidade de autovetores é uma forma de não linearidade relacionada, mas diferente, que às vezes é estudada. Neste caso, a função ${\displaystyle M}$ leva vetores em matrizes, ou às vezes matrizes hermitianas em matrizes hermitianas.^[5][6]

• Françoise Tisseur e Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001) (link).
• Gene H. Golub e Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics 123, 35-65 (2000).
• Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) (link).
• Cedric Effenberger, "Robust solution methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado EPFL (2013) (link)
• Roel Van Beeumen, "Rational Krylov methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado KU Leuven (2015) (link)