Desigualdade de Weyl

Em álgebra linear, Desigualdade de Weyl é um teorema sobre como os autovalores de um matriz hermitiana são perturbados. Esse teorema de 1912 carrega o nome de seu autor Hermann Weyl. Esse resultado é útil se quisermos saber os autovalores da matriz Hermitiana H, mas há uma incerteza sobre as entradas de H.^[1] Este resultado era conhecido no Século 19, mas não foi publicado na íntegra ^[2]

Seja H a matriz exata e P ser uma matriz de perturbação que representa a incerteza. Considere a matriz $\scriptstyle M\,=\,H\,+\,P$ . Seja M com autovalores $\mu _{1}\geq \cdots \geq \mu _{n}\,$ , H com autovalores $\nu _{1}\geq \cdots \geq \nu _{n}\,$ e P com autovalores $\rho _{1}\geq \cdots \geq \rho _{n}\,$

O teorema afirma que se M, H e P são todas matrizes Hermitianas n por n,então a seguinte desigualdade vale para $\scriptstyle i\,=\,1,\dots ,n$ :

\nu _{i}+\rho _{n}\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}+\rho _{1}.\,

Se P é positiva definida (e.g. $\scriptstyle \rho _{n}\,>\,0$ ) então isso implica que

\mu _{i}>\nu _{i}\quad \forall i=1,\dots ,n.\,

Note que podemos ordenar os autovalores porque as matrizes são Hermitiana e, portanto, os autovalores são reais.

Teoria dos números

Na teoria dos números, a desigualdade de Weyl afirma que se M, N, a e q são inteiros, com a e q co-primo, q > 0, e f é um polinômio real de grau k cujo coeficiente líder c satisfaz

|c-a/q|\leq tq^{-2},\,

para algum t maior ou igual a 1, então para qualquer número $\scriptstyle \varepsilon$ real positivo temos

\sum _{x=M}^{M+N}\exp(2\pi if(x))=O\left(N^{1+\varepsilon }\left({t \over q}+{1 \over N}+{t \over N^{k-1}}+{q \over N^{k}}\right)^{2^{1-k}}\right){\text{ como }}N\to \infty .

Essa desigualdade só será útil quando

q<N^{k},\,

pois, de outra forma, estimar o módulo da soma exponencial^{[nota 1]} por meio da desigualdade de triângulo como $\scriptstyle \leq \,N$ fornece um melhor limite.

Ver Também

Anexo:Lista de tópicos com o nome de Hermann Weyl

Notas e referências

Notas

Referências

[1]

[2]

[nota 1]

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