Elemento primo

Seja ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ um primo. Suponha ${\displaystyle x}$ composto então existem ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ com ${\displaystyle a<x}$ e ${\displaystyle b<x}$ tal que ${\displaystyle x=ab}$ . Como ${\displaystyle x|x}$ logo ${\displaystyle x|ab}$ então ${\displaystyle x|a}$ ou ${\displaystyle x|b}$ que é contradição já que ${\displaystyle a<x}$ e ${\displaystyle b<x}$ . Logo ${\displaystyle x}$ não é composto então x é irredutivel.

Agora seja ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ um irredutivel. Logo se ${\displaystyle x=ab}$ então ${\displaystyle x=a}$ ou ${\displaystyle x=b}$ logo ${\displaystyle x|a}$ ou ${\displaystyle x|b}$ . Assim ${\displaystyle x}$ é primo.

Então um número natural em ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$ é primo se e só se ele for irredutivel.

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