Forma quadrática definida

Formas quadráticas correspondem uma-a-uma a formas bilineares simétricas sobre o mesmo espaço.^{[nota 1]} Uma forma bilinear simétrica é também descrita como definida, semidefinida, etc, segundo sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática Q e sua forma bilinear simétrica associada B são relacionadas pelas seguintes equações:

${\displaystyle \,Q(x)=B(x,x)}$

${\displaystyle \,B(x,y)=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))}$

Como exemplo, façamos ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ , e consideremos a forma quadrática

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}\,}$

onde x = (x₁, x₂) , c₁ e c₂ são constantes. Se c₁ > 0 e c₂ > 0, a forma quadrática Q é positivo definida. Se uma das constantes é positiva e a outra é zero, então Q é positivo semidefinida. Se c₁ > 0 e c₂ < 0, então Q é indefinida.

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Col: Cambridge Tracts in Mathematics. 106. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 
• Lang, Serge (2004), Algebra, ISBN 978-0-387-95385-4, Graduate Texts in Mathematics, 211 Corrected fourth printing, revised third ed. , New York: Springer-Verlag, p. 578 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016