Matriz de coeficientes

Em geral, um sistema com ${\displaystyle m}$ equações lineares e ${\displaystyle n}$ incógnitas pode ser escrito como

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\,}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\,}$

${\displaystyle \vdots \,}$

${\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\,}$

onde ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$ são as incógnitas e os números ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$ são os coeficientes do sistema. A matriz de coeficientes é a matriz ${\displaystyle m\mathrm {x} n}$ com o coeficiente ${\displaystyle a_{ij}}$ como a (i, j)-ésima entrada:^[1][2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

Então, o conjunto de equações acima pode ser expresso de forma mais sucinta como

${\displaystyle Ax=b}$

onde ${\displaystyle A}$ é a matriz de coeficientes e ${\displaystyle b}$ é o vetor coluna de termos constantes.^[3]

Ver artigo principal: Teorema de Rouché-Capelli‎

Pelo teorema de Rouché-Capelli, o sistema de equações é inconsistente, o que significa que não tem soluções, se o posto da matriz aumentada (a matriz de coeficientes aumentada com uma coluna adicional consistindo do vetor ${\displaystyle b}$ ) for maior que o posto da matriz de coeficientes. Se, por outro lado, os postos dessas duas matrizes são iguais, o sistema deve ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se o posto ${\displaystyle p}$ for igual ao número ${\displaystyle n}$ de variáveis. Caso contrário, a solução geral tem ${\displaystyle n-p}$ parâmetros livres; portanto, em tal caso, há uma infinidade de soluções, que podem ser encontradas impondo valores arbitrários em ${\displaystyle n-p}$ das variáveis e resolvendo o sistema resultante para sua solução única; diferentes escolhas de quais variáveis corrigir, e diferentes valores fixos delas, fornecem diferentes soluções de sistema.

Uma matriz de equações de diferenças de primeira ordem com termo constante pode ser escrita como

${\displaystyle y_{t+1}=Ay_{t}+c,}$

onde ${\displaystyle A}$ é ${\displaystyle n\mathrm {x} n}$ e ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle c}$ são ${\displaystyle n\mathrm {x} 1}$ . Este sistema converge para seu nível de estado estacionário de ${\displaystyle y}$ se e somente se os valores absolutos de todos os ${\displaystyle n}$ autovalores de ${\displaystyle A}$ forem menores que 1.

Uma matriz de equações diferenciais de primeira ordem com termo constante pode ser escrita como

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Ay(t)+c.}$

Este sistema é estável se e somente se todos os ${\displaystyle n}$ autovalores de ${\displaystyle A}$ tiverem partes reais negativas.

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