Polinômio característico

Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz $A_{n\times n}$ ou de um operador linear $A\in L(V,V)$ em um espaço vetorial $V$ de dimensão finita $n$ com base $C$ é o polinômio:^[1]^[2]^[3]

p_{A}(x)=\det[xI-A]_{C}

em que $\det$ é o determinante e $I$ é a matriz identidade $n\times n$ (ou o operador identidade). Este é um polinômio mônico de grau $n,$ ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é $1.$ Os autovalores de $A$ são as raízes de seu polinômio característico.^[4]

O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico m_A(x) de menor grau tal que $m_{A}(A)(v)=0,$ $\forall v\in V.$

Motivação

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular:

\det \left(\lambda I-A\right)=0.

Para uma matriz de ordem

n\times n

, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A.^[5]

Alguns autores definem o polinômio característico como $\det \left(A-\lambda I\right)$ . Tal polinômio difere do que foi apresentado neste artigo por um sinal (−1)ⁿ, e isso não faz diferença para propriedades como a de ter os autovalores de A como raízes; no entanto, a definição deste artigo sempre produz um polinômio mônico, enquanto que a definição alternativa só resulta em um polinômio mônico quando $n$ é par.

Exemplos

Seja $A$ uma matriz de ordem $2\times 2$ dada por $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}.$ Então, seu polinômio característico é ${\begin{aligned}p_{A}(\lambda )&=\det \left(\lambda I-A\right)\\&=\det \left(\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{bmatrix}\lambda -a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&\lambda -a_{22}\end{bmatrix}}\right)\\&=\left[\left(\lambda -a_{11}\right)\left(\lambda -a_{22}\right)\right]-\left[a_{12}a_{21}\right]\\&=\lambda ^{2}-\left(a_{11}+a_{22}\right)\lambda +\left(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\right)\\&=\lambda ^{2}-{\text{tr}}(A)\lambda +\det(A)\end{aligned}},$ em que ${\text{tr}}(A)$ é o traço de $A.$
Seja $\mho$ uma matriz de ordem $3\times 3$ dada por: $\mho ={\begin{bmatrix}\mho _{11}&\mho _{12}&\mho _{13}\\\mho _{21}&\mho _{22}&\mho _{23}\\\mho _{31}&\mho _{32}&\mho _{33}\end{bmatrix}}$ Então, seu polinômio característico é: ${\begin{aligned}p_{\mho }(\lambda )&=\det \left(\lambda I-\mho \right)\\&=\det \left(\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mho _{11}&\mho _{12}&\mho _{13}\\\mho _{21}&\mho _{22}&\mho _{23}\\\mho _{31}&\mho _{32}&\mho _{33}\\\end{bmatrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{bmatrix}\lambda -\mho _{11}&\mho _{12}&\mho _{13}\\\mho _{21}&\lambda -\mho _{22}&\mho _{23}\\\mho _{31}&\mho _{32}&\lambda -\mho _{33}\end{bmatrix}}\right)\\\end{aligned}}.$