Funcție mărginită

În matematică o funcție $f$ reală sau complexă, definită pe o mulțime $X$ , este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este mărginită. Cu alte cuvinte, există un număr real $M$ astfel încât

|f(x)|\leq M

pentru orice $x\in X$ .^[1] Despre o funcție care nu este mărginită se spune că este nemărginită.^[2]^[3]

Dacă $f$ are valoare reală și $f$ ( $x$ ) ≤ $A$ pentru orice $x$ din $X$ , atunci se spune că funcția este mărginită superior de $A$ . Dacă $f$ ( $x$ ) ≥ $B$ pentru orice $x$ din $X$ , atunci se spune că funcția este mărginită inferior de $B$ .^[2] O funcție reală este mărginită dacă și numai dacă este mărginită atât superior, cât și inferior.^[3]

Un caz particular important este un șir mărginit, unde $X$ este considerat ca fiind mulțimea N de numere naturale. Astfel, un șir $f$ = ( $a$ ₀, $a$ ₁, $a$ ₂, ...) este mărginit dacă există un număr real $M$ astfel încât

|a_{n}|\leq M

pentru orice număr natural $n$ .

Definiția mărginirii poate fi generalizată la funcțiile $f : X \to Y$ care iau valori într-un spațiu mai general $Y$ prin necesitatea ca imaginea $f(X)$ să fie o mulțime mărginită în $Y$ .

Exemple

Funcția sinus : $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ este mărginită deoarece $|\sin(x)|\leq 1$ pentru orice $x\in \mathbb {R}$ .^[3]^[4]
Funcția $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ , definită pentru orice $x$ real cu excepția lui −1 și 1, este nemărginită. Cînd $x$ se apropie de −1 sau de 1, valorile absolute ale acestei funcții cresc. Această funcție poate fi mărginită dacă se limitează domeniul ei, de exemplu la [2, ∞) sau (−∞, −2].
Funcția ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ , definită pentru orice $x$ real, este mărginită, deoarece ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ pentru orice $x$ .
Funcția arctangentă, definită drept: ${\textstyle y=\operatorname {arctg} (x)}$ sau ${\textstyle x=\operatorname {tg} (y)}$ este monoton crescătoare pentru orice $x$ real și mărginită de ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$ radiani.^[5]
Conform teoremei valorilor extreme^⁠(d), orice funcție continuă pe un interval închis, cum ar fi $f:[0,1]\to \mathbb {R} ,$ este mărginită.^[6] În general, orice funcție continuă pe un spațiu compact într-un spațiu metric este mărginită.
Toate funcțiile complexe $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ care sunt întregi sunt fie nemărginite, fie constante ca o consecință a teoremei lui Liouville^⁠(d).^[7] În particular, funcția complexă $\sin :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ trebuie să fie nemărginită deoarece este întreagă.
Funcția $f$ care ia valoarea 0 pentru $x$ rațional și 1 pentru $x$ irațional este mărginită. Deci o funcție nu trebuie să fie „frumoasă” pentru a fi mărginită. Mulțimea tuturor funcțiilor mărginite definite pe [0, 1] este mult mai mare decât mulțimea funcțiilor continue din acel interval. În plus, funcțiile continue nu trebuie să fie mărginite; de exemplu, funcțiile $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ și $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ definite prin $g(x,y):=x+y$ și $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ sunt ambele continui, dar niciuna nu este mărginită.^[8] (Totuși, o funcție continuă trebuie să fie mărginită dacă domeniul său este atât închis, cât și mărginit.^[8])

Note

Portal Matematică

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]