Алгоритм Гилберта — Джонсона — Кирти

Алгоритм Гилберта — Джонсона — Кирти предоставляет довольно эффективный метод обнаружения столкновений между выпуклыми объектами. Он полагается на несколько ключевых моментов, которые кратко выделены ниже:^[2]

Сумма Минковского: Имеется два множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , их сумма Минковского определяется как:^[2]

${\displaystyle A+B=\{x+y\colon \;\;x\in A,\;y\in B\}.}$

Это определение кажется неправильным, так как суммирование точек бессмысленно. В этом свободном замечании ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ пусть скорее будут восприняты как векторы ${\displaystyle {\vec {x}}=\mathbf {x} -\mathbf {o} }$ , где ${\displaystyle \mathbf {o} }$ является началом мировой системы координат.^[2]

Конфигурационное пространство препятствий (англ. Configuration Space Obstacle — CSO). Для пары ${\displaystyle (A,\;B)}$ выпуклых объектов их CSO будет дано ${\displaystyle A-B}$ , то есть сумма Минковского от ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle -B}$ . Этот набор особенно полезный в определениях столкновений, так как можно доказать, что ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ пересекаются тогда и только тогда, когда их CSO содержат начало системы координат:^[2]

${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing \equiv 0\in A-B.}$

Кроме того, их дистанция даётся:

${\displaystyle d(A,\;B)=\min\{\|x\|\colon x\in A-B\}.}$

Подобным образом глубина проникновения пар объектов может быть выраженная в терминах их CSO как:^[2]

${\displaystyle p(A,\;B)=\inf\{\|x\|\colon x\in A-B\}.}$

Для пары пересекающихся объектов глубина проникновения реализуется точкой на границе ${\displaystyle A-B}$ , которая наиболее близка к началу системы координат.

Support Mapping. Support Mapping ${\displaystyle S_{A}(v)}$ является функцией, которая принимает вектор ${\displaystyle v}$ и выпуклое множество ${\displaystyle A}$ , возвращает наиболее «экстремальную» точку для выпуклого объекта ${\displaystyle A}$ в этом направлении (направлении вектора ${\displaystyle v}$ ). Формально говоря:^[2]

${\displaystyle S_{A}(v)\in A\mid v\cdot S_{A}(v)=\max\{v\cdot x\colon x\in A\}.}$

Разделяющая плоскость/ось (англ. Separating Plane/Axis): Дано два объекта ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , плоскость ${\displaystyle H(v,\;\delta )}$ , которая разделяет ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , если для каждой точки ${\displaystyle a\in A,\;v\cdot a+\delta \geqslant 0}$ и для каждой точки ${\displaystyle b\in B,\;v\cdot b+\delta \geqslant 0}$ . Вектор ${\displaystyle v}$ известен как «слабо отделённая ось» (англ. weakly separating axis) для ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , поскольку есть по крайней мере одна отделяющая плоскость, которая есть нормалью к нему, или, эквивалентно,

${\displaystyle v\cdot S_{A}(-v)\geqslant v\cdot S_{B}(v).}$

Общая идея алгоритма GJK состоит в изучении конфигурационного пространства препятствий (CSO) для двух данных объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , ища симплекс, который содержит начало системы координат. Если поиск заканчивается с отрицательным ответом, то есть начало системы координат лежит вне CSO, то тогда объекты не пересекаются.^[3] В этом случае точка из CSO, которая является ближайшей к началу системы координат, представляет разделяющую ось ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , и это, в свою очередь, может использоваться как отправная точка для тестирования столкновений в последующих итерациях.^[2]

С другой стороны, если поиск был успешен, и потом объекты пересеклись, то для того, чтобы исполнить реакцию на столкновение и некоторые другие детали по отношению к столкновению, необходимы вычисления. Например, типичная схема, пытающаяся определить глубину проникновения, которая, в свою очередь, нуждается в поиске точки на границе CSO, которая будет ближайшей к началу системы координат. Ван ден Берген (англ. G. van den Bergen) ^[4] предлагает расширенный алгоритм политопов для этого случая. Однако наша система вычисляет относительную информацию — ударную грань (англ. hit face), то есть ту грань на оболочке CSO, которая является ближайшей к началу системы координат. Анализируя вершины в этой грани, является возможным определить, какая составная часть объекта приняла участие в столкновении. Здесь различают два основных случая: столкновения типа «ребро-ребро» (англ. edge-edge) и столкновения типа «вершина-грань» (англ. vertex-face). Для того, чтобы понять, как идентифицируются составные части, заметим, что каждый из CSO соответствует паре векторов ${\displaystyle (a_{i},\;b_{j}),\;a_{i}\in A,\;b_{j}\in B}$ . Например, вершина выпуклого объекта ${\displaystyle A}$ столкнулась с гранью выпуклого объекта ${\displaystyle B}$ , которая характеризуется тем, что имеет все три вершины ударной грани, соответственные к той самой вершине объекта ${\displaystyle A}$ , но к трём разным вершинам объекта ${\displaystyle B}$ .^[2]

Алгоритм GJK часто используется в системах моделирования, компьютерной анимации и компьютерных играх. В этом режиме при расчёте финальный (выходной, результирующий) симплекс из предыдущей итерации используется как начальные данные в следующей итерации (фрейме, кадре). Если позиция в новом фрейме близка к аналогичной позиции в старом фрейме, то алгоритм будет сходиться в одной или в двух итерациях.

Стабильность, скорость и занимаемый объём памяти алгоритма сделали его популярным в обнаружениях столкновений в реальном времени, особенно в физических движках для компьютерных игр.^[1]

• Gilbert, E. G., Johnson, D. W., Keerthi, S. S. A fast procedure for computing the distance between complex objectsin three-dimensional space (англ.). IEEE Xplore (апрель 1988). — первоначальная публикация Гилберта, Джонсона и Кирти. Дата обращения: 1 июля 2009. Архивировано 3 апреля 2012 года.
• Chong Jin Ong, Gilbert, E.G. The Gilbert-Johnson-Keerthi distance algorithm: a fast version forincremental motions (англ.) (недоступная ссылка — история). IEEE Xplore (20 апреля 1997). — Публикация усовершенствованного алгоритма. Дата обращения: 1 июля 2009.
• Computing the Distance between Objects (англ.). OXFORD UNIVERSITY COMPUTING LABORATORY. Дата обращения: 1 июля 2009. Архивировано 3 апреля 2012 года.
• gjkd — Двухмерная реализация алгоритма GJK, написанная на языке программирования D
• Shen-Po Shiang, Yu-Ren Chien, Jing-Sin Liu. On Enhancing GJK Algorithm for Distance Computation Between Convex Polyhedra: Comparison of Improvements (англ.). Institute of Information Science. Academia Cinica. Nankang, Taipei, Taiwan 11529 R.O.C. Дата обращения: 1 июля 2009. Архивировано 24 мая 2012 года.
• Александр Игоревич Синяков. Gilbert-Johnson-Keerthi алгоритм  (рус.). GameDev.ru (20 февраля 2006). — Математическое описание GJK. Дата обращения: 1 июля 2009.