Интегральный оператор Фредгольма

Линейность

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть ${\displaystyle A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag}$ .

Непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным на ${\displaystyle {\bar {G}}\times {\bar {G}}}$ ^[6] ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ , переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ (и, следовательно, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ и ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$ ) и ограничен (непрерывен), причём

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),}$

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

где

${\displaystyle M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.}$ ^[7].

Интегральный оператор с ${\displaystyle L_{2}}$ -ядром:

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty }$

переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$ , непрерывен и удовлетворяет оценке:

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.}$ ^[1][8]

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$ .^[9]

Вполне непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ является вполне непрерывным из ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ , то есть переводит любое множество, ограниченное в ${\displaystyle L_{2}(G)}$ , в множество, предкомпактное в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ ^[10]. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с ${\displaystyle L_{2}}$ -ядром.^[11]

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$ .^[12]

Сопряжённый оператор к оператору ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle L_{2}}$ -ядром в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L_{2}(G)}$ имеет вид

${\displaystyle (A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)}}f(y)\,dy.}$

Если ${\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$ , то интегральный оператор Фредгольма ${\displaystyle A}$ является самосопряжённым^[1][11]

При достаточно малых значениях ${\displaystyle |\lambda |}$ оператор ${\displaystyle I-\lambda A}$ (где ${\displaystyle I}$  — единичный оператор) имеет обратный вида${\displaystyle I+\lambda R}$ , где ${\displaystyle R}$  — интегральный оператор Фредгольма с ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$  — резольвентой ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ ^[13].

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Теория Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Компактный оператор

• Хведелидзе Б. В. . Интегральный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Владимиров В. С. . Уравнения математической физики. 4-е изд. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. — 512 с.
• Трикоми Ф. . Интегральные уравнения. Пер. с англ.. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960.
• Манжиров А. В., Полянин А. Д. . Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. . Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — М., 1976.