Машинный ноль
Машинный ноль (Машинный нуль) — числовое значение с таким отрицательным порядком, которое воспринимается машиной как ноль[1].
Машинный эпсилон (англ. Machine epsilon) — числовое значение, меньше которого невозможно задавать относительную точность для любого алгоритма, возвращающего вещественные числа. Абсолютное значение «машинного эпсилон» зависит от разрядности сетки применяемой ЭВМ, типа (разрядности) используемых при расчетах чисел, и от принятой в конкретном трансляторе структуры представления вещественных чисел (количества бит, отводимых на мантиссу и на порядок).[2] Формально машинный эпсилон обычно определяют как минимальное из чисел ε, для которого 1+ε>1 при машинных расчетах с числами данного типа[3]. Альтернативное определение — максимальное ε, для которого справедливо равенство 1+ε=1.
Практическая важность машинного эпсилон связана с тем, что два (отличных от нуля) числа являются одинаковыми с точки зрения машинной арифметики, если их относительная разность по модулю меньше (при определении первого типа) или не превосходит (при определении второго типа) машинного эпсилон.
В языках программирования
Язык Си
В языке Си существуют предельные константы FLT_EPSILON, DBL_EPSILON и LDBL_EPSILON являющиеся «машинными эпсилон», соответствующими первому определению: FLT_EPSILON = 2−23 ≈ 1.19e-07 — это машинный эпсилон для чисел типа float (32 бита), DBL_EPSILON = 2−52 ≈ 2.20e-16 — для типа double (64 бита), и LDBL_EPSILON = 2−63 ≈ 1.08e-19 — для типа long double (80 бит). При альтернативном определении соответствующие машинные эпсилон будут вдвое меньше: 2−24 , 2−53 и 2−64 .В некоторых компиляторах Си (например gcc, Intel’s C/C++ compiler) допускается использование переменных четверной точности (_float128, _Quad). Соответствующие машинные эпсилон равны 2−112 ≈ 1.93e-34 и 2−113 ≈ 9.63e-35.
Пример
Пример вычисления машинного эпсилона (не путать с машинным нулём) на языке Си.
float macheps(void){float e = 1.0f;while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f)e /= 2.0f;return e;}Пример на языке C++.
# include <iostream># include <stdint.h># include <iomanip>template<typename float_t, typename int_t>float_t machine_eps(){union{float_t f;int_t i;} one, one_plus, little, last_little;one.f = 1.0;little.f = 1.0;last_little.f = little.f;while(true){one_plus.f = one.f;one_plus.f += little.f;if( one.i != one_plus.i ){last_little.f = little.f;little.f /= 2.0;}else{return last_little.f;}}}int main(){std::cout << "machine epsilon:\n";std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl;std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl;}Пример на Python
def machineEpsilon(func=float): machine_epsilon = func(1) while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1): machine_epsilon_last = machine_epsilon machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2) return machine_epsilon_lastВывод может быть таким (с использованием IPython):
In [1]: machineEpsilon(int)Out[1]: 1
In [2]: machineEpsilon(float)Out[2]: 2.2204460492503131e-16
In [3]: machineEpsilon(complex)Out[3]: (2.2204460492503131e-16+0j)