Модель Лотки — Вольтерры
Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (модель Ло́тки — Вольтерра́[1]) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь своих авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Lotka_Volterra_dynamics-ru.svg/220px-Lotka_Volterra_dynamics-ru.svg.png)
Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами[2].
В математической форме предложенная система имеет следующий вид:
- ,
- ,
где — количество жертв, — количество хищников, — время, — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.
Решение системы уравнений
Постановка задачи
Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учёта хищников) принимает вид:
,
где — коэффициент рождаемости жертв,
— величина популяции жертв,
— скорость прироста популяции жертв.
Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид:
,
где — коэффициент убыли хищников,
— величина популяции хищников,
— скорость прироста популяции хищников.
При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине ) происходит убийство жертв с коэффициентом
, сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом
. С учётом этого, система уравнений модели такова:
.
Решение задачи
Нахождение положения равновесия системы
Для положения равновесия изменение численностей популяции равно нулю. Следовательно:
,
,
из чего следует, что точка равновесия, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:
,
.
Малые колебания в системе
Рассмотрим поведение малых отклонений численностей от их равновесных значений, то есть изменение во времени и
. Из-за их малой абсолютной величины, квадратами, кубами и последующими степенями (
и
) можно пренебречь. Подставляя
,
,
в уравнения модели, получаем приближенно:
Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:
,
.
Полученное выражение является дифференциальным уравнением гармонического осциллятора с периодом .
Конечные колебания в системе
Функция
постоянна на решениях системы. Действительно:
Функция является суммой двух функций одного переменного:
, где
При функция
неограниченна и имеет один глобальный минимум при
, в то время как при
функция
также неограниченна и имеет один глобальный минимум при
, где
и
равновесные численности. Следовательно, функция
имеет единственный глобальный минимум в точке
, являющейся положением равновесия, а все неравновесные линии уровня
при
замкнуты и отвечают периодическим колебаниям с периодим, который зависит от начальных численностей.
См. также
Примечания
Ссылки
- Популяционная динамика
- Простейшая модель «хищник-жертва»
- Николя Бакаэp, В.А. Вольперт, Д.M. Эдиев: Краткая история математической динамики населения. 2021. ISBN 979-10-343-8016-9. Pdf.