Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 марта 2021 года; проверки требуют 8 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 марта 2021 года; проверки требуют 8 правок.
Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (модель Ло́тки — Вольтерра́[1]) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь своих авторов (Лотка, 1925; Вольтерра1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.
Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учёта хищников) принимает вид:
,
где — коэффициент рождаемости жертв, — величина популяции жертв, — скорость прироста популяции жертв.
Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид:
,
где — коэффициент убыли хищников, — величина популяции хищников, — скорость прироста популяции хищников.
При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине ) происходит убийство жертв с коэффициентом , сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом . С учётом этого, система уравнений модели такова:
.
Решение задачи
Нахождение положения равновесия системы
Для положения равновесия изменение численностей популяции равно нулю. Следовательно:
,
,
из чего следует, что точка равновесия, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:
,
.
Малые колебания в системе
Рассмотрим поведение малых отклонений численностей от их равновесных значений, то есть изменение во времени и . Из-за их малой абсолютной величины, квадратами, кубами и последующими степенями ( и ) можно пренебречь. Подставляя
,
,
в уравнения модели, получаем приближенно:
Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:
Функция является суммой двух функций одного переменного:, где
При функция неограниченна и имеет один глобальный минимум при , в то время как при функция также неограниченна и имеет один глобальный минимум при , где и равновесные численности. Следовательно, функция имеет единственный глобальный минимум в точке , являющейся положением равновесия, а все неравновесные линии уровня при замкнуты и отвечают периодическим колебаниям с периодим, который зависит от начальных численностей.