Модель Удзавы — Лукаса

После того, как Пол Ромер разработал модель обучения в процессе деятельности, исследователи обратились к теме внешних эффектов от запаса капитала, с помощью которых можно было показать возможность наличия устойчивых темпов роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. В модели Ромера внешние эффекты происходили от совокупного физического запаса капитала и через эффект перелива знаний распространялись на всю экономику. Будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Роберт Лукас предложил иное толкование: по его мнению, внешние эффекты происходили от человеческого капитала. За основу он взял модель Хирофуми Удзавы, изложенную в работе «Оптимальные технические изменения в агрегированной модели экономического роста», изданной в журнале International Economic Review^[англ.] в январе 1965 года^[1]. В модели Удзавы рассматривалась экономика, в которой темпы научно-технического прогресса зависят от доли трудовых ресурсов, занятых в образовательном секторе. Однако в модели Удзавы была постоянная отдача от физического и человеческого капитала была постоянной, а внешние эффекты отсутствовали. Роберт Лукас изложил свою модель в лекциях в Кембриджском университете в 1985 году^[2], её основные положения были позже изложены в работе «О механике экономического развития», изданной в журнале Journal of Monetary Economics в июле 1988 года^[3]. Лукас добавил в модель Удзавы внешний эффект от среднего уровня образования в экономике^[4], тем самым существенно усложнив её: теперь отдача от капитала стала переменной во времени, индивидуальная и общественная отдача от образования стали различными, и, следовательно, решения для конкурентной и централизованной экономики стали различными^[5]. Похожая постановка в модели, предложенной другим будущим лауреатом Нобелевской премии по экономике Полом Кругманом в 1987 году, однако в постановке Лукаса более четко обозначен внешний эффект от образования, считающийся внешним для каждого отдельного производителя, но при этом являющийся результатом решения экономических агентов^[2]. Итоговую модель назвали моделью «Удзавы — Лукаса»^[6][7][8][9] (также встречается название «модель Лукаса»^{[10][11][12][13]}).

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$ , используемый, как для потребления ${\displaystyle C}$ , так и для инвестиций ${\displaystyle I}$ . В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Фискальная политика в модели отсутствует. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно^[3].

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I}$ , ${\displaystyle C=cL}$ , ${\displaystyle Y=C+I}$ .

Производственная функция задается следующей формулой^[3]:

${\displaystyle Y_{t}=AK_{t}^{\alpha }(uH_{t})^{1-\alpha }{\bar {h_{t}}}^{\beta }}$ ,

где ${\displaystyle A}$  — технологический параметр, ${\displaystyle A=const}$ , ${\displaystyle K_{t}}$  — совокупный запас физического капитала, ${\displaystyle u}$  — доля населения, занятого в производстве, ${\displaystyle 0<u<1}$ , ${\displaystyle {\bar {h_{t}}}^{\beta }}$  — внешний эффект от среднего уровня образования в экономике, ${\displaystyle 0<\beta <1}$ , ${\displaystyle \alpha }$  — эластичность выпуска по физическому капиталу, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ , ${\displaystyle H_{t}}$  — совокупный запас человеческого капитала, ${\displaystyle H_{t}=h_{t}L_{t}}$ ,

где ${\displaystyle L_{t}}$  — население равное в модели трудовым ресурсам, ${\displaystyle L=L_{0}e^{nt}}$ , ${\displaystyle n=const}$ , ${\displaystyle h_{t}}$  — уровень квалификации работников.

Для человеческого и физического капиталов выполняются условия отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды)^[3]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }K_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$ ,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h_{t}L_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$ ,

где ${\displaystyle r}$  — ставка процента в экономике.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя ${\displaystyle u(c_{t})}$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0}$ , а также обладает постоянной эластичностью замещения ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c=-\theta }$ , и имеет вид^[14]:

${\displaystyle U(c)=\int _{0}^{\infty }{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}e^{-(\rho -n)t}dt}$ ,

где ${\displaystyle \rho }$  — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >0,\rho =const}$ .

Сектор образования описывается следующим уравнением^[15]:

${\displaystyle {\dot {h}}=\gamma (1-u)h_{t}}$ ,

где ${\displaystyle {\dot {h}}}$  — производная уровня квалификации по времени, ${\displaystyle (1-u)}$  — доля населения, занятого повышением квалификации, ${\displaystyle \gamma }$  — коэффициент производительности сектора образования, ${\displaystyle \gamma >0}$ , ${\displaystyle \gamma =const}$ .

Индивидуум принимает решение об уровне образования исходя из максимизации своего дохода ${\displaystyle z}$ ^[15]:

${\displaystyle z=\int _{S}^{N}h(S)w_{t}e^{-rt}dt=\int _{S}^{N}e^{\gamma S+g_{w}t-rt}dt={\frac {e^{\gamma S+g_{t}N-rN}-e^{\gamma S+g_{w}S-rS}}{g_{w}-r}}\to max}$ ,

где ${\displaystyle N}$  — общий объём времени экономического агента, ${\displaystyle S}$  — время, потраченное на обучение, ${\displaystyle h(S)=e^{\gamma S}}$  — уровень образования индивида исходя из предпосылки ${\displaystyle {\dot {h}}=\gamma (1-u)h_{t}}$ , ${\displaystyle w_{t}=e^{g_{w}t}}$ — уровень заработной платы, где ${\displaystyle g_{w}={\frac {\dot {w}}{w}}}$  — темп роста заработной платы, ${\displaystyle g_{w}<r}$ .

Условие максимума^[16]:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial S}}={\frac {\gamma e^{\gamma S+g_{w}N-rN}-(\gamma +g_{w}-r)e^{\gamma S+g_{w}S-rS}}{g_{w}-r}}=0}$ ,

Решение этого уравнения в виде оптимального времени обучения ${\displaystyle S^{*}}$ выглядит следующим образом^[16]:

${\displaystyle S^{*}=N-{\frac {1}{(g_{w}-r)}}ln(1+{\frac {g_{w}-r}{\gamma }})}$

Если принять дополнительную предпосылку о том, что экономический агент тратит на учёбу значительно меньшую часть своей жизни, чем на работу (${\displaystyle N>>S}$ ), или же, по аналогии с моделью пересекающихся поколений, считая, что человеческий капитал передается по наследству, а альтруистические связи между поколениями делают поведение домохозяйства аналогичным поведению бесконечно живущего индивида (${\displaystyle N\to \infty }$ ), мы получаем, что^[16]:

${\displaystyle -{\frac {\gamma }{g_{w}-r}}=1\Rightarrow r=\gamma +g_{w}}$ .

Задача потребителя в модели заключается в максимизации полезности при условии ограничений на темп роста капитала и на темп роста квалификации работников. Отдельный индивидуум в условиях совершенной конкуренции не влияет на средний уровень образования в экономике, потому в конкурентном равновесии ${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {h_{t}}}}{\partial {h_{it}}}}=0}$ ^[3][17].

${\displaystyle U(c)\to \max }$

при условиях:

${\displaystyle {\dot {K}}=I_{t}=Y_{t}-C_{t}=AK_{t}^{\alpha }(uh_{t}L_{t})^{1-\alpha }{\bar {h}}_{t}^{\beta }-cL_{t}}$ ,

${\displaystyle {\dot {h}}=\gamma (1-u)h_{t}}$ ,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }K_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$ ,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h_{t}L_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$ ,

где ${\displaystyle {\dot {K}}}$  — производная запаса капитала по времени.

Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума Понтрягина^[15].

Искомый равновесный темп роста выпуска ${\displaystyle g_{Y}^{*}={\frac {\dot {Y}}{Y}}}$ и потребления ${\displaystyle g_{C}^{*}={\frac {\dot {C}}{C}}}$ имеет следующий вид^[3]:

${\displaystyle g_{C}^{*}=g_{Y}^{*}={\frac {(\gamma -\rho +n)(1-\alpha +\beta )}{\theta (1-\alpha )-(1-\theta )\beta }}+n}$ .

Темп роста выпуска на душу населения ${\displaystyle g_{y}^{*}={\frac {\dot {y}}{y}}}$ и потребления и потребления на душу населения ${\displaystyle g_{c}^{*}={\frac {\dot {c}}{c}}}$ имеет следующий вид^[21][3]:

${\displaystyle g_{c}^{*}=g_{y}^{*}={\frac {(\gamma -\rho +n)(1-\alpha +\beta )}{\theta (1-\alpha )-(1-\theta )\beta }}}$ .

Равновесный темп роста заработной в модели платы ${\displaystyle g_{w}^{*}}$ имеет вид^[22][3]:

${\displaystyle g_{w}^{*}={\frac {(\gamma -\rho +n)\beta }{\theta (1-\alpha )-(1-\theta )\beta }}}$ .

Поскольку в модели присутствуют внешние эффекты, которые не учитываются потребителями при принятии решения об уровне образования (${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {h_{t}}}}{\partial {h_{it}}}}=0}$ ), то децентрализованное равновесие не является оптимальным. Потому в модели при централизованном планировании можно достичь более высокого уровня потребления ${\displaystyle c}$ . При централизованном планировании ${\displaystyle {\bar {h_{t}}}=h_{t}}$ , и задача централизованного планирования выглядит следующим образом^[3][23].

${\displaystyle U(c)\to \max }$

При условиях:

${\displaystyle {\dot {K}}=I_{t}=Y_{t}-C_{t}=AK_{t}^{\alpha }(uh_{t}L_{t})^{1-\alpha }h_{t}^{\beta }-cL_{t}}$ ,

${\displaystyle {\dot {h}}=\gamma (1-u)h_{t}}$ ,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }K_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$ ,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h_{t}L_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$ .

Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума Понтрягина^[3].

Искомый равновесный темп оптимальный роста выпуска ${\displaystyle g_{Y}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {Y}}{Y}}{\biggr )}_{opt}}$ и потребления ${\displaystyle {\displaystyle g_{C}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {C}}{C}}{\biggr )}_{opt}}}$ имеет следующий вид^[3]:

${\displaystyle g_{C}^{**}=g_{Y}^{**}={\frac {1}{\theta }}{\biggl (}\gamma {\frac {1-\alpha +\beta }{1-\alpha }}-\rho +n{\biggr )}+n}$ .

Темп роста выпуска на душу населения ${\displaystyle g_{y}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {y}}{y}}{\biggr )}_{opt}}$ и потребления и потребления на душу населения ${\displaystyle g_{c}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {c}}{c}}{\biggr )}_{opt}}$ имеет следующий вид^[24][3]:

${\displaystyle g_{c}^{**}=g_{y}^{**}={\frac {1}{\theta }}{\biggl (}\gamma {\frac {1-\alpha +\beta }{1-\alpha }}-\rho +n{\biggr )}}$ .

Ставка процента ${\displaystyle r^{**}}$ , соответствующая оптимальным темпам роста, имеет следующий вид^[24][3]::

${\displaystyle r^{**}=\gamma {\frac {1-\alpha +\beta }{1-\alpha }}}$ .

Таким образом, темпы роста потребления выпуска и заработной платы в модели при централизованном планировании выше, чем при конкурентном равновесии^[24]. Однако при отсутствии внешнего эффекта от уровня образования (если ${\displaystyle \beta =0}$ ), темпы роста выпуска в централизованном и конкурентном состоянии совпадают и равны^[24]:${\displaystyle g_{C}=g_{Y}={\frac {1}{\theta }}(\gamma -\rho +n)+n}$ , а заработная плата не растет (${\displaystyle g_{w}=0}$ ), и модель превращается в полный аналог изначальной модели Удзавы.

Графически равновесие в модели показано на иллюстрации. Синяя линия показывает общую отдачу от образования для экономики (${\displaystyle r^{**}}$ ). Зелёная линия показывает отдачу от образования для отдельного индивида. Красная линия обозначает финансовые ограничения индивида (сбережения). Точка ${\displaystyle E_{0}}$  — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для индивида, конкурентное равновесие. Точка ${\displaystyle O_{0}}$  — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для экономики, оптимальное (централизованное) равновесие. Точка ${\displaystyle M}$  — пересечение персональной и социальной отдачи от образования, максимально возможные темпы роста при текущем уровне внешних эффектов от образования ${\displaystyle \beta }$ . Для темпов роста, превышающих темпы в точке ${\displaystyle M}$ , необходимо, чтобы отдача от образования для индивида превышала общую отдачу от образования для экономики, что при положительном внешнем эффекте от образования невозможно^[24].

Государственная политика может влиять на равновесие двумя способами. Первый вариант — стимулирование образования. Увеличение расходов на образование делает его производительность ${\displaystyle \gamma }$ выше, что сдвигает линию отдачи от образования для индивида (зелёную линию) вверх, равновесие сдвигается в точку ${\displaystyle E_{1}}$ , приближая его к точке ${\displaystyle O_{0}}$ : темпы роста ${\displaystyle g_{Y}}$ и процентная ставка ${\displaystyle r}$ вырастут. Оптимальное равновесие не меняется^[25].

Второй вариант — поощрение сбережений (в том числе и через повышение их доходности). в этом случае линию финансовых ограничений (красную линию) индивида вправо, равновесие сдвигается в точку ${\displaystyle E_{2}}$ : темпы роста ${\displaystyle g_{Y}}$ и процентная ставка ${\displaystyle r}$ вырастут. Однако оптимальное равновесие также изменится, оно сдвинется в точку ${\displaystyle O_{1}}$ , приближаясь к точке ${\displaystyle M}$ ^[26].

Возможно и одновременное применение обеих политик, тогда равновесие сдвинется в точку ${\displaystyle E_{3}}$ , в которой темпы роста ${\displaystyle g_{Y}}$ и процентная ставка ${\displaystyle r}$ выше, чем в точках ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ ^[26].

Достоинством модели является то, что она, в отличие от более ранних моделей (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. Модель не была первой, в которой человеческий капитал интегрирован в производственную функцию, однако, в отличие от модели Менкью — Ромера — Вейла, экономический рост в модели является эндогенным. Он основывается на накоплении человеческого капитала ${\displaystyle H_{t}}$ в форме повышения уровня образования, который усиливается внешними эффектами от распространения знаний в экономике. Таким образом, в модели Удзавы — Лукаса показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессом^[26], тем самым показав важность изучения человеческого капитала и внешних эффектов от него^[10]. Благодаря этому, модель привлекла внимание многих исследователей к зарождающейся теории эндогенного экономического роста^[10].

Также как и модель обучения в процессе деятельности, модель Удзавы — Лукаса не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые^[27]. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах, бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатые^[28], хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в модели обучения в процессе деятельности различия, существующие между странами, со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и всё больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждается^[29].

В отличие от модели обучения в процессе деятельности, устойчивые темпы роста в модели Удзавы — Лукаса не зависят от масштаба экономики ${\displaystyle L_{t}}$ , что является более реалистичным выводам, поскольку в ряде исследований было показано, что большие страны не растут быстрее малых. Например, Чарльз Джонс показал, что такая предпосылка не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил модель^[англ.], объясняющую полученные результаты, являющуюся упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаров^[30].

Вместе с тем, эмпирические исследования показали очень слабое влияние внешних эффектов от человеческого капитала на совокупный выпуск (исследования Дж. Рауча^[31], Д. Аджемоглу и Дж. Ангриста^[32], Э. Дюфло^[33], Э. Моретти^[34], А. Чикконе и Дж. Пери^[35]). Потому, модель не дала исчерпывающего ответа на вопрос о причинах экономического роста, хотя и внесла вклад в их понимание^[10].