Солитон

Уравнение Кортевега — де Фриза

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

${\displaystyle u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{\mathrm {ch} ^{2}\,\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}}}$

где ${\displaystyle 2\varkappa ^{2}}$  — амплитуда солитона, ${\displaystyle \varphi }$  — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна ${\displaystyle \varkappa ^{-1}}$ . Такой солитон движется со скоростью ${\displaystyle v=4\varkappa ^{2}}$ . Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее^[18].

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при ${\displaystyle t\to \pm \infty }$ решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x,t)}$

где матрица ${\displaystyle A(x,t)}$ даётся выражением

${\displaystyle A_{nm}=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}}{\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}}\mathrm {e} ^{8\varkappa _{n}^{3}t-(\varkappa _{n}+\varkappa _{m})x}}$

Здесь ${\displaystyle \beta _{n},n=1,\dots ,N}$ и ${\displaystyle \varkappa _{n}>0,n=1,\dots ,N}$  — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\psi (x)+u(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

с потенциалом ${\displaystyle u(x)}$ , убывающим на бесконечности быстрее чем ${\displaystyle |x|^{-1-\varepsilon }}$ , коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени ${\displaystyle t}$ .

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при ${\displaystyle t\to -\infty }$ решение имеет асимптотический вид ${\displaystyle N}$ солитонов, тогда при ${\displaystyle t\to +\infty }$ оно также имеет вид ${\displaystyle N}$ солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы ${\displaystyle k}$ -го солитона равен

${\displaystyle \Delta \varphi _{k}=\sum _{\stackrel {n=1}{n\neq k}}^{N}\Delta \varphi _{nk}}$

Пусть ${\displaystyle n}$ -й солитон движется быстрее, чем ${\displaystyle m}$ -й, тогда

${\displaystyle \Delta \varphi _{n}^{+}=\Delta \varphi _{kn}={\frac {1}{\varkappa _{n}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|}$

${\displaystyle \Delta \varphi _{k}^{-}=\Delta \varphi _{nk}=-{\frac {1}{\varkappa _{m}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|}$

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину ${\displaystyle \Delta \varphi _{n}^{+}}$ , а фаза более медленного — уменьшается на ${\displaystyle \Delta \varphi _{k}^{-}}$ , причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

${\displaystyle iu_{t}+u_{xx}+\nu \vert u\vert ^{2}u=0}$

при значении параметра ${\displaystyle \nu >0}$ допустимы уединённые волны в виде:

${\displaystyle u\left(x,t\right)=\left({\sqrt {\frac {2\alpha }{\nu }}}\right)\mathrm {ch} ^{-1}\left({\sqrt {\alpha }}(x-Ut)\right)e^{i(rx-st)},}$

где ${\displaystyle r,s,\alpha ,U}$  — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

${\displaystyle U=2r}$

${\displaystyle s=r^{2}-\alpha }$

Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона^[19].

• Модель Френкеля — Конторовой
• Ионно-звуковые солитоны
• Волновой пакет
• Кинк
• Уравнение синус-Гордона
• Уравнения Дэви — Стюартсона
• Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
• Уравнение Габитова — Турицына

• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
• Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
• Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
• Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
• Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
• Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. — М.: Физматлит, 2003. — 304 с. — ISBN 5-9221-0344-X.
• Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
• Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
• Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
• Барьяхтар В. Г., Захаров В. Е., Черноусенко В. М. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. — Киев: Наукова думка, 1990. — 472 с. — 1000 экз. — ISBN 5-12-001120-9.
• Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner. Solitons in nonlinear lattices (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306.
• Focus: Landmarks—Computer Simulations Led to Discovery of Solitons (англ.) // Physics. — 2013. — Vol. 6. — P. 15. — doi:10.1103/Physics.6.15.

• Примеры типов солитонов
• А может, все мы состоим из солитонов?
• СОЛИТОН. Энциклопедия «Кругосвет»