Формула Остроградского — Гаусса

Поток вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ через замкнутую поверхность ${\displaystyle S}$ равен интегралу от ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {a} ,}$ взятому по объему ${\displaystyle V}$ , ограниченному поверхностью ${\displaystyle S}$ ^[1]

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v} }$

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

${\displaystyle \iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz}$

${\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}$ - проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:

1) в бездивергентном поле (${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {a} =0}$ ) поток вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ через любую замкнутую поверхность ${\displaystyle S}$ , являющуюся полной границей некоторого тела ${\displaystyle V}$ , равен нулю.

2) если внутри замкнутой поверхности ${\displaystyle S}$ имеется источник или сток, то поток вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ через эту поверхность, убывающий с расстоянием как ${\displaystyle 1/r^{2}}$ , не зависит от её формы.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,}$

где ${\displaystyle d\omega }$ и ${\displaystyle ds}$  — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. ${\displaystyle P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)}$  — функции,непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью^[2].

Современная запись формулы:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,}$

где ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}}$ , ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx}}$ и ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}}$ . В современной записи ${\displaystyle \omega =d\Omega }$  — элемент объёма, ${\displaystyle s=dS}$  — элемент поверхности^[2].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762^[3].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики^[4].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году^[4]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от ${\displaystyle n}$ -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации ${\displaystyle n}$ -кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

• Теорема Стокса
• Теорема Грина

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).