Закон Бернулли

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли^{[K 1]}. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году^[11] для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году^[12].

Полное давление
Размерность	${\displaystyle L^{-1}MT^{-2}}$
Единицы измерения
СИ	Дж/м3 = Па
СГС	эрг/см3
Примечания
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина ${\displaystyle \rho v^{2}/2+\rho gh+p}$ сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.}$

Здесь

${\displaystyle \rho }$  — плотность жидкости;

${\displaystyle v}$  — скорость потока;

${\displaystyle h}$  — высота;

${\displaystyle p}$  — давление;

${\displaystyle g}$  — ускорение свободного падения.

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина^[13]. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ , действует сила ${\displaystyle F_{1}=p_{1}A_{1}}$ , а справа — противоположного направления сила ${\displaystyle F_{2}=-p_{2}A_{2}}$ . Скорость ${\displaystyle v}$ и давление ${\displaystyle p}$ в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время ${\displaystyle \Delta t}$ левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние ${\displaystyle s_{1}=v_{1}\Delta t}$ , а правая — на расстояние ${\displaystyle s_{2}=v_{2}\Delta t}$ . Работа, совершённая силами давления, равна:

${\displaystyle W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2}p_{2}\right).}$

В начале интервала времени ${\displaystyle \Delta t}$ объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: ${\displaystyle \Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.}$ Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: ${\displaystyle \Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),}$ равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента ${\displaystyle \Delta E_{2}}$ и левого голубого элемента ${\displaystyle \Delta E_{1}}$ .

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить ${\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2}=\rho }$ и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: ${\displaystyle \Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),}$ ${\displaystyle \Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).}$ После этого равенство ${\displaystyle \Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}}$ даёт: ${\displaystyle p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}}$ , или ${\displaystyle p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}}$ .

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением^[2]. Могут также использоваться термины «весовое давление» ${\displaystyle \rho gh}$ , «статическое давление» ${\displaystyle p}$ и «динамическое давление» ${\displaystyle \rho v^{2}/2}$ . По словам Д. В. Сивухина^[13], нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии^[14]).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

${\displaystyle \rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},}$

где

${\displaystyle h}$  — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,

${\displaystyle v}$  — скорость истечения жидкости,

${\displaystyle p_{0}}$  — атмосферное давление.

Отсюда: ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$ . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты ${\displaystyle h}$ . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде^[15].

Другие проявления и применения закона Бернулли

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука^[16].

Вдоль горизонтальной трубы координата ${\displaystyle z}$ постоянна и уравнение Бернулли принимает вид ${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}}$ . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури^[17] и струйного насоса^[1].

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)^[18].

Применение в гидравлике

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» ${\displaystyle \rho g}$ :

${\displaystyle H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}},}$

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор[19]
Размерность	${\displaystyle L}$
Единицы измерения
СИ	метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес.

${\displaystyle H}$  — гидравлическая высота^[4] или напор^[19],

${\displaystyle h}$  — нивелирная высота^[4],

${\displaystyle {\frac {p}{\rho g}}}$  — пьезометрическая высота^[4] или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор^[19],

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$  — скоростная высота^[4] или скоростной напор^[19].

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»^[19].

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости^{[K 2][K 3]}. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: ${\displaystyle \rho =\rho (p)}$ , что позволяет ввести функцию давления^[22] ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.}$ В этих предположениях величина

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}}$

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом ${\displaystyle gh}$ заменяется на потенциал массовой силы ${\displaystyle \varphi }$ .

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости ${\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi }$ , интеграл Бернулли в виде ${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const} }$ ^{[K 4]} сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения^[25].

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон^[26]

${\displaystyle p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right],}$

то уравнение Бернулли выражается так^[27] (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const} }$ вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}}$  — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,

${\displaystyle p,\ \rho }$  — давление и плотность газа,

${\displaystyle p_{0},\ \rho _{0}}$  — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за ${\displaystyle p_{0},\ \rho _{0},}$ тогда скорость истечения выражается через внешнее давление ${\displaystyle p}$ по формуле Сен-Венана — Ванцеля^[28]:

${\displaystyle v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].}$

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}},\quad s={\text{const}},}$

где ${\displaystyle w}$  — энтальпия единицы массы, ${\displaystyle \varphi }$  — гравитационный потенциал (равный ${\displaystyle gz}$ для однородной силы тяжести), ${\displaystyle s}$  — энтропия единицы массы.

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии (${\displaystyle s={\text{const}}}$ ). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости^[31].

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится^[32]. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений^[33]), в магнитной гидродинамике^[34], феррогидродинамике^[35]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света ${\displaystyle c}$ , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных^[36] удельной энтальпии и удельной энтропии^[37].

• Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. под ред. Г. Ю. Степанова. — М.: Мир, 1973. — 760 с.
• Вишневецкий С. Л. Бернулли уравнение // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова-Бома эффект — Длинные линии. — С. 187. — 704 с.
• Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред. Часть 1. — М.: Физматлит, 2000. — 256 с. — ISBN 5-02-015555-1.
• Зубарев, Д. Н. Релятивистская термодинамика // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга-Робертсона эффект — Стримеры. — С. 333—334. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — ISBN 5-9221-0121-8.
• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
• Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 656 с.
• Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII) // Известия Академии наук, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1999. — Вып. 6. — С. 7–25.
• Напор // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 242. — 672 с. — ISBN 5-85270-019-3.
• Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. — Рипол Классик, 2013. — 490 с. — ISBN 5458431251, 9785458431255.
• Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1989. — Т. I. Механика. — 576 с. — ISBN 5-02-014054-6.
• Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. — Т. 1. — 224 с.
• Трусделл К. Очерки по истории механики. — М. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3.
• Фабер Т. Е. Гидроаэродинамика / Пер. с англ. под ред. А. А. Павельева. — М.: Постмаркет, 2001. — 560 с. — ISBN 5-901095-04-9.
• Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2.
• §182. Закон Бернулли // Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Ландсберга. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.
• Darrigol O. Worlds of flow. A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl. — Oxford: Oxford University Press, 2005. — 356 с. — ISBN 978-0-19-856843-8.
• Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1755 (1757). — Т. 11. — С. 316—361.
• Truesdell, Clifford Ambrose. Rational fluid mechanics, 1687–1765. Editor’s introduction to Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. — Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. — Т. 12. — С. I—CXXV. — (II).

• Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли