Гауссов интеграл
Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на[1]) — интеграл от гауссовой функции:
Доказательства
Доказательство |
---|
Рассмотрим функцию Ограничим в первом неравенстве изменение
Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим При замене Полагая Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной И заменяя Здесь с пределами интегрирования аналогично: Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к Следовательно, В силу чётности функции |
Доказательство 2 |
---|
Гауссов интеграл может быть представлен как Следовательно, |
Доказательство 3 |
---|
Гауссов интеграл может быть представлен как
и интегрируя по
Следовательно, |
Вариации
Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции
и многомерные гауссовы интегралы
элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).
То же относится к многомерным интегралам вида
где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.
Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение
В физике
Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики[2].
История
Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона[2].
См. также
Примечания
Ссылки
- Morozov, A.; Shakirove, Sh. (2009). "Introduction to integral discriminants". Journal of High Energy Physics. 2009 (12): 002. arXiv:0903.2595. Bibcode:2009JHEP...12..002M. doi:10.1088/1126-6708/2009/12/002.