Einsteinov zapis ali Einsteinov dogovor o seštevanju (tudi Einsteinov sumacijski dogovor ) je v matematiki in še posebej v linearni algebri in fiziki poseben dogovor krajšega zapisa indeksov vektorskih ali tenzorskih spremenljivk , ki je najbolj uporaben pri zapisovanju koordinatnih enačb. Zapis je prvi uporabil Albert Einstein leta 1916 v svojem članku Osnova splošne teorije relativnosti (nemško Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie ), objavljenem v Annalen der Physik . se indeks spremenljivke v posameznem členu pojavi dvakrat, enkrat zgoraj in enkrat spodaj, se po dogovoru sešteva po vseh njegovih mogočih vrednostih. Običajno so to 1,2,3 (za računanje v evklidskem prostoru ) ali 0,1,2,3, oziroma 1,2,3,4 (za računanje v prostoru Minkowskega ). Drugače pa so lahko vrednosti poljubne. V nekaterih uporabah so elementi neskončne množice . Abstraktni indeksni zapis celo uporablja Einsteinov zapis brez vsakršnih omejitev. Nekaj zgledov Einsteinovega zapisa:
∑ i = 1 3 a i x i ≡ a i x i = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}a_{i}x^{i}\equiv a_{i}x^{i}=a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\!\,,} ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 a i j x i x j ≡ a i j x i x j = a 11 x 1 x 1 + a 12 x 1 x 2 + a 13 x 1 x 3 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 x 2 + a 23 x 2 x 3 + a 31 x 3 x 1 + a 32 x 3 x 2 + a 33 x 3 x 3 , {\displaystyle {\begin{matrix}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}a_{ij}x^{i}x^{j}\equiv a_{ij}x^{i}x^{j}&=&a_{11}x^{1}x^{1}+a_{12}x^{1}x^{2}+a_{13}x^{1}x^{3}+\\&&a_{21}x^{2}x^{1}+a_{22}x^{2}x^{2}+a_{23}x^{2}x^{3}+\\&&a_{31}x^{3}x^{1}+a_{32}x^{3}x^{2}+a_{33}x^{3}x^{3}\!\,,\end{matrix}}} ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 δ i j δ i j ≡ δ i j δ i j = δ 11 δ 11 + δ 12 δ 12 + δ 13 δ 13 + δ 21 δ 21 + δ 22 δ 22 + δ 23 δ 23 + δ 31 δ 31 + δ 32 δ 32 + δ 33 δ 33 , {\displaystyle {\begin{matrix}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{ij}\delta _{ij}\equiv \delta _{ij}\delta _{ij}&=&\delta _{11}\delta _{11}+\delta _{12}\delta _{12}+\delta _{13}\delta _{13}+\\&&\delta _{21}\delta _{21}+\delta _{22}\delta _{22}+\delta _{23}\delta _{23}+\\&&\delta _{31}\delta _{31}+\delta _{32}\delta _{32}+\delta _{33}\delta _{33}\!\,,\end{matrix}}} ∑ i = 1 3 δ i j ≡ δ i i = δ 11 δ 11 + δ 22 δ 22 + δ 33 δ 33 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\delta _{ij}\equiv \delta _{ii}=\delta _{11}\delta _{11}+\delta _{22}\delta _{22}+\delta _{33}\delta _{33}\!\,,} ∑ α , β = 0 3 T α β S α β = ∑ α = 0 3 ∑ β = 0 3 T α β S α β ≡ T α β S α β = T 00 S 00 + T 01 S 01 + T 02 S 02 + T 03 S 03 + T 10 S 10 + T 11 S 11 + T 12 S 12 + T 13 S 13 + T 20 S 20 + T 21 S 21 + T 22 S 22 + T 23 S 23 + T 30 S 30 + T 31 S 31 + T 32 S 32 + T 33 S 33 , {\displaystyle {\begin{matrix}\sum _{\alpha ,\beta =0}^{3}T^{\alpha \beta }S_{\alpha \beta }=\sum _{\alpha =0}^{3}\sum _{\beta =0}^{3}T^{\alpha \beta }S_{\alpha \beta }\equiv T^{\alpha \beta }S_{\alpha \beta }&=&T^{00}S_{00}+T^{01}S_{01}+T^{02}S_{02}+T^{03}S_{03}+\\&&T^{10}S_{10}+T^{11}S_{11}+T^{12}S_{12}+T^{13}S_{13}+\\&&T^{20}S_{20}+T^{21}S_{21}+T^{22}S_{22}+T^{23}S_{23}+\\&&T^{30}S_{30}+T^{31}S_{31}+T^{32}S_{32}+T^{33}S_{33}\!\,,\end{matrix}}} ∑ ρ = 0 3 R μ ρ ν ρ ≡ R μ ν = R μ ρ ν ρ = R μ 0 ν 0 + R μ 1 ν 1 + R μ 2 ν 2 + R μ 3 ν 3 . {\displaystyle \sum _{\rho =0}^{3}R_{\ \mu \rho \nu }^{\rho }\equiv R_{\mu \nu }=R_{\ \mu \rho \nu }^{\rho }=R_{\ \mu 0\nu }^{0}+R_{\ \mu 1\nu }^{1}+R_{\ \mu 2\nu }^{2}+R_{\ \mu 3\nu }^{3}\!\,.} V splošni teoriji relativnosti se za ločevanje seštevanja po 1,2,3 od seštevanja po 0,1,2,3 uporabljajo rimske in grške črke. Rimske (npr. i , j , ...) kadar se sešteva po vrednostih 1,2,3, in grške (npr. μ , ν , ...) za 0,1,2,3. Kakor pri dogovorih o predznakih to različno uporabljajo in so lahko črke celo zamenjane.
Včasih, kakor tudi v splošni teoriji relativnosti, mora biti indeks enkrat zgornji in enkrat spodnji. Drugod so vsi indeksi spodnji. Glej dualni vektorski prostor in tenzorski produkt .
Pomembno je upoštevati, da iz Eisteinovega zapisa ne izhajajo novi fizikalni zakoni ali zamisli. Zapis le pomaga pri ugotavljanju povezav in simetrij, ki so velikokrat 'skrite' pri običajnejših zapisih.
Uvod V mehaniki in tehniki se vektorje v trirazsežnem prostoru običajno opiše z ortogonalnimi enotskimi vektorji i → {\displaystyle {\vec {\mathbf {i} }}} , j → {\displaystyle {\vec {\mathbf {j} }}} in k → {\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}} .
u → = u x i → + u y j → + u z k → . {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}=u_{x}{\vec {\mathbf {i} }}+u_{y}{\vec {\mathbf {j} }}+u_{z}{\vec {\mathbf {k} }}\!\,.} Če so bazni vektorji i → {\displaystyle {\vec {\mathbf {i} }}} , j → {\displaystyle {\vec {\mathbf {j} }}} in k → {\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}} izraženi kot e → 1 {\displaystyle {\vec {\mathbf {e} }}_{1}} , e → 2 {\displaystyle {\vec {\mathbf {e} }}_{2}} in e → 3 {\displaystyle {\vec {\mathbf {e} }}_{3}} , se lahko vektor izrazi z vsoto:
u → = u 1 e → 1 + u 2 e → 2 + u 3 e → 3 = ∑ i = 1 3 u i e → i . {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}=u_{1}{\vec {\mathbf {e} }}_{1}+u_{2}{\vec {\mathbf {e} }}_{2}+u_{3}{\vec {\mathbf {e} }}_{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}\!\,.} V Einsteinovem zapisu, indeks, ki je zapisan dvakrat, pogojuje vsoto, zato se simbol za vsoto ne zapisuje. Takšen zapis dovoljuje zgoščen zapis vektorskih in tenzorskih enačb. Na primer:
u → ⋅ v → = ∑ i = 1 3 u i e → i ⋅ ∑ j = 1 3 v j e → j = u i e → i ⋅ v j e → j . {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}\cdot {\vec {\mathbf {v} }}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j=1}^{3}v_{j}{\vec {\mathbf {e} }}_{j}=u_{i}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}\cdot v_{j}{\vec {\mathbf {e} }}_{j}\!\,.} ali enakovredno:
u → ⋅ v → = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 u i v j ( e → i ⋅ e → j ) = u i v j ( e → i ⋅ e → j ) , {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}\cdot {\vec {\mathbf {v} }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}({\vec {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\vec {\mathbf {e} }}_{j})=u_{i}v_{j}({\vec {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\vec {\mathbf {e} }}_{j})\!\,,} kjer je:
e → i ⋅ e → j = δ i j {\displaystyle {\vec {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\vec {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}\!\,} in δ i j {\displaystyle \ \delta _{ij}} Kroneckerjeva delta , ki je enaka 1 kadar je i = j , drugače pa je enaka 0. Iz tega sledi, da se lahko en j v enačbi spremeni v i , ali en i v j . Tako je:
u → ⋅ v → = u i v j δ i j = u i v i = u j v j . {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}\cdot {\vec {\mathbf {v} }}=u_{i}v_{j}\delta _{ij}=u_{i}v_{i}=u_{j}v_{j}\!\,.} Za vektorski produkt :
u → × v → = ∑ j = 1 3 u j e → j × ∑ k = 1 3 v k e → k = u j e → j × v k e → k = u j v k ( e → j × e → k ) = ϵ i j k e → i u j v k , {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}\times {\vec {\mathbf {v} }}=\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\vec {\mathbf {e} }}_{j}\times \sum _{k=1}^{3}v_{k}{\vec {\mathbf {e} }}_{k}=u_{j}{\vec {\mathbf {e} }}_{j}\times v_{k}{\vec {\mathbf {e} }}_{k}=u_{j}v_{k}({\vec {\mathbf {e} }}_{j}\times {\vec {\mathbf {e} }}_{k})=\epsilon _{ijk}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}u_{j}v_{k}\!\,,} kjer je e → j × e → k = ϵ i j k e → i {\displaystyle {\vec {\mathbf {e} }}_{j}\times {\vec {\mathbf {e} }}_{k}=\epsilon _{ijk}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}} in ϵ i j k {\displaystyle \ \epsilon _{ijk}} Levi-Civitajev simbol , določen kot:
ϵ i j k = { + 1 ; pri ( i , j , k ) je ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) ali ( 3 , 1 , 2 ) − 1 ; pri ( i , j , k ) je ( 3 , 2 , 1 ) , ( 1 , 3 , 2 ) ali ( 2 , 1 , 3 ) 0 ; sicer: i = j ali j = k ali k = i {\displaystyle \epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1;&{\mbox{ pri }}(i,j,k){\mbox{ je }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ali }}(3,1,2)\\-1;&{\mbox{ pri }}(i,j,k){\mbox{ je }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ali }}(2,1,3)\\0;&{\mbox{ sicer: }}i=j{\mbox{ ali }}j=k{\mbox{ ali }}k=i\end{matrix}}\right.} kar da
u → × v → = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) e → 1 + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) e → 2 + ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) e → 3 {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}\times {\vec {\mathbf {v} }}=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}){\vec {\mathbf {e} }}_{1}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}){\vec {\mathbf {e} }}_{2}+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}){\vec {\mathbf {e} }}_{3}\!\,} pri
u → × v → = ϵ i j k e → i u j v k = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ϵ i j k e → i u j v k . {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}\times {\vec {\mathbf {v} }}=\epsilon _{ijk}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}u_{j}v_{k}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}u_{j}v_{k}\!\,.} Če je w → = u → × v → {\displaystyle {\vec {\mathbf {w} }}={\vec {\mathbf {u} }}\times {\vec {\mathbf {v} }}} , velja w → = ϵ i j k e → i u j v k {\displaystyle {\vec {\mathbf {w} }}=\epsilon _{ijk}{\vec {\mathbf {e} }}_{i}u_{j}v_{k}} in w i = ϵ i j k u j v k {\displaystyle \ w_{i}=\epsilon _{ijk}u_{j}v_{k}} . Pri tem je razvidno, da kadar se indeks pojavi enkrat na obeh straneh enačbe, gre za sistem enačb in ne za vsoto:
w 1 = ϵ 1 j k u j v k w 2 = ϵ 2 j k u j v k w 3 = ϵ 3 j k u j v k . {\displaystyle {\begin{matrix}w_{1}=\epsilon _{1jk}u_{j}v_{k}\\w_{2}=\epsilon _{2jk}u_{j}v_{k}\\w_{3}=\epsilon _{3jk}u_{j}v_{k}\!\,.\end{matrix}}} To se lahko zapiše tudi kot:
u → × v → = u → ⋅ ϵ ⋅ v → , {\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}\times {\vec {\mathbf {v} }}={\vec {\mathbf {u} }}\cdot \epsilon \cdot {\vec {\mathbf {v} }}\!\,,} vendar to ni Einsteinov zapis.
Glej tudi