Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.
Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki. Diferenciacija in izpeljava m = sprememba v y sprememba v x = Δ y Δ x {\displaystyle m={{\mbox{sprememba v }}y \over {\mbox{sprememba v }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}} Definicija z diferenčnim količnikom Zapisovanje odvoda Leibnizev zapis Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.
d y d x , d ( f ( x ) ) d x , a l i d d x ( f ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}.} Višje odvode zapišemo kot
d n y d x n , d n ( f ( x ) ) d x n , a l i d n d x n ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}} za n -ti odvod funkcije y=f(x)
Lagrangeev zapis Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange . Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .
Newtonov zapis Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t , njen odvod zapišemo
y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki , kjer je običajno s piko označen časovni odvod , oziroma odvod po času .
Eulerjev zapis Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D , ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df .
Računanje odvoda Glavni članek: Tabela odvodov . Pravila za sestavljanje funkcij ( f ( x ) ± g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) {\displaystyle (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,} ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,} ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 {\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\!\,} ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,} Odvodi elementarnih funkcij odvod konstante : če je g(x) = c (konstanta), potem g ′ ( x ) = 0 {\displaystyle g'(x)=0\,\!} odvod potence : če je f ( x ) = x r {\displaystyle f(x)=x^{r}\,} , kjer je r realno število , potem f ′ ( x ) = r x r − 1 {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,} ,Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana.Na primer: če je r = 1/2, sledi f ′ ( x ) = ( 1 / 2 ) x − 1 / 2 {\displaystyle f'(x)=(1/2)x^{-1/2}\,} in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x .
odvod eksponentne funkcije :Naravna eksponentna funkcija f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}\,\!} se pri odvajanju ne spremeni: f ′ ( x ) = e x {\displaystyle f'(x)=e^{x}\,\!} . V splošnem pa je odvod funkcije f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}\,\!} enak f ′ ( x ) = a x ln a {\displaystyle f'(x)=a^{x}\ln a\,\!} . odvod logaritemske funkcije :Naravna logaritemska funkcija f ( x ) = ln x {\displaystyle f(x)=\ln x\,\!} ima odvod f ′ ( x ) = 1 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}} . V splošnem je odvod logaritemske funkcije f ( x ) = log a x {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,\!} enak f ′ ( x ) = 1 x ln a {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\ln a}}} . Odvodi trigonometrijskih funkcij ( sin x ) ′ = cos x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\!}
( cos x ) ′ = − sin x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\!}
( sin 2 x ) ′ = 2 cos 2 x {\displaystyle (\sin 2x)'=2\cos 2x\!}
( cos 2 x ) ′ = − 2 sin 2 x {\displaystyle (\cos 2x)'=-2\sin 2x\!}
( sin ( n x ) ) ′ = n cos ( n x ) {\displaystyle (\sin(nx))'=n\cos(nx)\!}
( sin 2 x ) ′ = 2 sin x cos x = sin 2 x {\displaystyle (\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\!}
( cos 2 x ) ′ = − 2 sin x cos x = − sin 2 x {\displaystyle (\cos ^{2}x)'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\!}
( sin n x ) ′ = n sin ( n − 1 ) x cos x {\displaystyle (\sin ^{n}x)'=n\sin ^{(n-1)}x\cos x\!}
( cos n x ) ′ = − n sin x cos ( n − 1 ) x {\displaystyle (\cos ^{n}x)'=-n\sin x\cos ^{(n-1)}x\!}
( tan x ) ′ = 1 cos 2 x ; cos x ≠ 0 {\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}};\;\cos x\neq 0}
( cot x ) ′ = − 1 sin 2 x ; sin x ≠ 0 {\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};\;\sin x\neq 0}
( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Odvodi drugih funkcij: Odvajanje v višjih razsežnostih Odvajanje vektorskih funkcij Parcialno odvajanje Smerni odvod Naj bo n {\displaystyle n} skalarno polje in b → {\displaystyle {\vec {b}}} neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja b → {\displaystyle {\vec {b}}} .
Ogledamo si izraz
lim h → 0 u ( x + h b 1 , y + h b 2 , z + h b 3 ) − u ( x , y , z ) h = d u d b → {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {u(x+hb_{1},y+hb_{2},z+hb_{3})-u(x,y,z)}{h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}} Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri b → {\displaystyle {\vec {b}}}
d u d h = d u d x d x d h + d u d y d y d h + d u d z d z d h {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}{\frac {{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}{\frac {{\mbox{d}}z}{{\mbox{d}}h}}\,\!} Sledi
d u d b → = d u d x b 1 + d u d y b 2 + d u d z b 3 {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}b_{1}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}b_{2}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}b_{3}} pri čemer je b → {\displaystyle {\vec {b}}} enotski vektor. Torej
d u d b → = grad u ( b 1 , b 2 , b 3 ) = grad u b → , b → {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u(b_{1},b_{2},b_{3})={\mbox{grad}}\,u{\vec {b}},\qquad {\vec {b}}} enotski d u d b → = grad u ⋅ b → {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u\cdot {\vec {b}}} Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial Jacobijeva determinanta parcialnih odvodovprimer za vpeljavo novih spremenljivk:
J = | x u x v x w y u y v y w z u z v z w | {\displaystyle J={\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v}&x_{w}\\y_{u}&y_{v}&y_{w}\\z_{u}&z_{v}&z_{w}\end{vmatrix}}} Glej tudi Zunanje povezave