Интеграл

Под неодређеним интегралом назива се скуп свих примитивних функција функције ${\displaystyle f(x)}$ и означава се са:

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

где се ${\displaystyle f(x)}$ назива „подинтегралном функцијом (интеграндом)”, док је ${\displaystyle f(x)\,dx}$ „подинтегрални израз”.

Да би се могао увести појам одређеног интеграла, пре свега је потребно увести појмове поделе сегмента, параметра поделе, скупа изабраних тачака поделе и Дарбуове суме.

Под поделом сегмента ${\displaystyle [a,b]}$ се сматра било који коначан непразан скуп са елементима ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$ , где је ${\displaystyle x_{0}=a,x_{n}=b}$ и ${\displaystyle x_{i-1}<x_{i},i=1,...,n}$ . Параметар ове поделе јесте ${\displaystyle max(x_{i}-x_{i-1})}$ за ${\displaystyle i=1,...,n}$ . Скуп изабраних тачака ове поделе је скуп са елементима ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}}$ за које важи ${\displaystyle {x_{i-1}}\leq \xi _{i}\leq x_{i}}$ за све ${\displaystyle i=1,...,n}$ . Дарбуова сума функције ${\displaystyle f}$ са датом поделом ${\displaystyle P}$ и скупом изабраних тачака ${\displaystyle \xi }$ је ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}$ .

Сада је, по дефиницији, одређени интеграл функције ${\displaystyle f}$ на сегменту ${\displaystyle [a,b]}$ таква константа ${\displaystyle I}$ за коју важи

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall P,\xi )\lambda (P)<\delta \implies |S(f,P,\xi )-I|<\epsilon }$ ,

где су ${\displaystyle P}$ — подела сегмента ${\displaystyle [a,b]}$ , ${\displaystyle \xi }$ — скуп изабраних тачака поделе ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle \lambda (P)}$ — параметар поделе ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle S(f,P,\xi )}$ — Дарбуова сума фукције ${\displaystyle f}$ при подели ${\displaystyle P}$ и скупу изабраних тачака ${\displaystyle \xi }$ . Тада се каже да је ${\displaystyle f}$ интеграбилна на ${\displaystyle [a,b]}$ . Број ${\displaystyle I}$ који задовољава горенаведени критеријум се означава са

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ .

Важно је назначити да немају све функције одређени интеграл на неком сегменту. Таква је Вајерштрасова функција која реалан број пресликава у 1 ако и само ако је рационалан и није 0, а иначе у 0. Испоставља се да је потребан и довољан услов да нека буде интеграбилна на неком сегменту њена прекидност у коначно много (или ни у једној) тачака тог сегмента.

Основна теорема интегралног рачуна (која се често назива Њутн-Лајбницовом формулом) даје везу одређеног и неодређеног интеграла. Њом је доказано да се вредност одређеног интеграла може рачунати помоћу неодређеног интеграла (антидеривације) по формули:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,}$

где је F(x) примитивна функција (антидеривација) функције f(x).

За разлику од деривирања, интегрирање је знатно сложенији поступак. Док се познавањем таблице деривација елементарних функција и правила за деривирање (збира, разлике, производа, количника и сложене функције) може деривирати свака функцију, код интегрирања поступак није тако једноставан. Интегрирање познаје само два (елементарна) правила:

• Правило за интегрирање функције помножене скаларом

${\displaystyle \int A\cdot f(x)\,dx=A\cdot \int f(x)\,dx}$

• Правило за интегрирање збира и разлике функција

${\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$

Не постоје правила за интегрирање производа, количника или сложене функције, а многи интеграли су доказано нерјешиви помоћу елементарних функција, попут интеграла ${\displaystyle \int e^{x^{2}}\,dx}$ .

Три основне методе које се користе за решавање интеграла су^[1]:

• Метода непосредне интеграције је метода у којој је циљ да се подинтегрална функција f(x) запише на математички еквивалентан начин, који омогућава интегрирање помоћу таблице основних интеграла. На пример, не постоји правило за интегрирање умношка ${\displaystyle \int (x\cdot {\sqrt {x}})\,dx}$ , али ако се подинтегрална функција запише свођењем израза на заједничку базу x, ${\displaystyle \int x^{\frac {3}{2}}\,dx}$ , интеграл се решавамо уз помоћ таблице основних интеграла.
• Метода супституције је метода којом се део или цела подинтегрална функција замењује једноставнијим изразом.
• Метода парцијалне интеграције је метода чија је основна формула изведена из формуле за деривирање умношка. Смисао методе је, према поступку описаном формулом, део подинтегралне функције деривирати, а део интегрисати (отуда и назив парцијална интеграција). Циљ је да се добије једноставнији облик интеграла.

Неправи интеграл је проширење концепта интеграла на полуотворене сегменте или на интервал ${\displaystyle (a,b)}$ , с тим да рубна тачка b може бити бесконачна и функција у околини тачке b може бити неограничена.^[2]

Размотримо функцију ${\displaystyle x\mapsto e^{-x}}$ . Помоћу неправог интеграла може се скупу испод графа те функције, и изнад осе x, на ${\displaystyle [0,+\infty )}$ доделити његова површина и то на овај начин:

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x}dx=\lim _{B\to +\infty }\int _{0}^{B}e^{-x}dx.}$

У том случају написани лимес се назива неправим интегралом. Ако постоји тај лимес онда се каже да интеграл конвергира. Обично се у литератури неправи интеграл записује исто као и обичан интеграл, па читатељ треба испитивањем подинтегралне функције и граница интеграције да утврди о којем је интегралу реч.

• Теорија и задаци на [1]
• Риманови редови - Интеграција функција (Џава симулација)
• Функција, извод и интеграл (Џава симулација)
• Интегратор Волфрам рисрча
• Калкулатор функција од WIMS
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Integral”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Online Integral Calculator, Wolfram Alpha.
• Online Integral Calculator, by MathsTools.