Лагерови полиноми
Лагерови полиноми представљају решења Лагерове диференцијалне једначине:
Придружени Лагерови полиноми представљају решења од:
По први пут дефинисао их је француски математичар Едмон Лагер. Користе се и у квантној механици као решења радијалнога дела Шредингерове једначине једноелектронскога атома.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Laguerre_poly.svg/250px-Laguerre_poly.svg.png)
Родригезова формула и полиноми
Лагерови полиноми обично се означавају као L0, L1, ..., а полиномни низ може да се дефинише Родригезовом формулом:
Првих неколико полинома:
n | |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 |
Генерирајућа функција Лагерових полинома је:
.
Рекурзивне релације
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Edmond_Laguerre.jpg/150px-Edmond_Laguerre.jpg)
Лагерови полиноми могу да се дефинишу рекурзивно уз помоћ прва два полинома која су:
а рекурзивна релација је:
Рекурзивна релација за изводе је:
Генерализирани Лагерови полиноми
Генерализирани Лагерови полиноми или придружени Лагерови полиноми представљају решења диференцијалне једаначине:
Родригезова формула за генерализиране полиноме је:
Веза обичних и генерализираних Лагерових полинома је:
.
Обични Лагерови полиноми еквивалентни су генерализиранима полиномима ако је α = 0:
Неколико првих генерализираних Легерових полинома:
Ортогоналност
Придружени Лагерови полиноми ортогонални су у односу на тежинску функцију :
Веза са Ермитовим полиномима
Генерализирани лагерови полиноми повезани су са Ермитовим полиномима следећим релацијама:
и
где су Ермитови полиноми.
Литература
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720