Мјерљиви простор

Размотримо неиспразни скуп ${\displaystyle X}$ и σ-алгебру ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ на ${\displaystyle X}$ . Тада се торка ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ назива мјерљивим простором.^[2]

Имајте на уму да за разлику од простора за мјерење, није потребна никаква мјера за мјерљиви простор.

Погледајте скуп

${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$

Једна могућа σ-алгебра би била

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.}$

Тада је ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})}$ мјерљиви простор. Друга могућа σ-алгебра била био партитивни скуп на ${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$

Са овим, други мјерљиви простор на скупу ${\displaystyle X}$ је дат са ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})}$ .

Ако је ${\displaystyle X}$ коначан или пребројив бесконачан, σ-алгебра је већину времена партитивни скуп на ${\displaystyle X}$ , тако да је ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$ . То доводи до мјерног простора ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$ .

Ако је ${\displaystyle X}$ тополошки простор, σ-алгебра је најчешће Борелова σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , тако да је ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)}$ . То доводи до мјерљивог простора ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ који је заједнички за све тополошке просторе као што су реални бројеви ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Термин Борелов простор се користи за различите типове мјерљивих простора. Може се односити на

• било који мјерљиви простор, тако да је синоним за мјерљиви простор као што је горе дефинисано ^[1]
• мјерљиви простор који је Борел изоморфан мјерљивом подскупу реалних бројева (из Борелове σ-алгебре)^[3]