Ланцюгова гомотопія
Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі.
Означення
Нехай і
— ланцюгові комплекси модулів (тобто множина модулів
і модульних гомоморфізмів
),
і
— ланцюгові відображення комплексу
в комплекс
(тобто такі гомоморфізми
що
).
Ланцюговою гомотопією між відображеннями і
називається множина гомоморфізмів
, для яких справедливими є рівності
Аналогічно можна ввести поняття ланцюгової гомотопії для коланцюгових комплексів і
Якщо
і
— коланцюгові відображення комплексу
в комплекс
(тобто такі гомоморфізми
що
).
Ланцюговою гомотопією між відображеннями і
називається множина гомоморфізмів
, для яких справедливими є рівності
Діаграма для випадку коланцюгових комплексів зображена нижче:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Diagram_chain_homotopy.svg/615px-Diagram_chain_homotopy.svg.png)
Властивості
- Відношення ланцюгової гомотопії є відношенням еквівалентності на множині ланцюгових відображень (і також на множині коланцюгових відображень). Дійсно відображення
є ланцюговою гомотопією, що забезпечує рефлексивність. Якщо відображення
є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями
і
, то
є ланцюговою гомотопією між
і
, що доводить симетричність відношення. Якщо
є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями
і
, а
є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями
і
, то
є ланцюговою гомотопією між відображеннями
і
Тобто відношення є також транзитивним і, як наслідок, відношенням еквівалентності. Клас еквівалентності ланцюгового відображення
позначають
, еквівалентність відображеннь
і
позначається як
- Якщо
,
і
— ланцюгові комплекси і
— ланцюгові відображення, такі що
то також
Відповідно можна ввести добуток на класах ланцюгової гомотопії
Якщо для ланцюгового відображення
існує таке відображення
що
і
то ланцюгові комплекси називаються гомотопно еквівалентними.
- Якщо відображення
і
є ланцюгово гомотопними, то індуковані відображення на гомологічних групах
є рівними (де
). Справді, нехай
— цикл, тобто елемент з
. Тоді
. Так як
і
є ланцюгово гомотопними, то
,
- Тобто відрізняються на границю (елемент
).
Див. також
Література
- Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005 (рос.)
- Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Москва: Наука, 1989 (рос.)
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976 (рос.)
- Маклейн С. Гомология. — Москва: Мир, 1966 (рос.)
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971 (рос.)