Формулювання Нехай ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} — простір з мірою , L p ≡ L p ( X , F , μ ) {\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )} — простір функцій вигляду f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } із скінченним інтегровним p {\displaystyle p} -им степенем.
Тоді в останньому визначена норма
‖ f ‖ p = ( ∫ X | f ( x ) | p μ ( d x ) ) 1 / p , p ≥ 1. {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p},\qquad p\geq 1.} Нехай
f ∈ L p , g ∈ L q , p , q ≥ 1 , 1 p + 1 q = 1. {\displaystyle f\in L^{p},\quad g\in L^{q},\quad p,q\geq 1,\quad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.} Тоді
f ⋅ g ∈ L 1 , ‖ f ⋅ g ‖ 1 ≤ ‖ f ‖ p ⋅ ‖ g ‖ q {\displaystyle f\cdot g\in L^{1},\quad \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}} Доведення Лема Нехай ϕ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 ; ∞ ) {\displaystyle \phi :[0,\infty )\to [0;\infty )} — неперервна строго зростаюча функція . Тоді існує обернена функція ϕ − 1 {\displaystyle \phi ^{-1}} і тоді для всіх додатних a {\displaystyle a} і b : {\displaystyle b:}
a b ≤ ∫ 0 a ϕ ( x ) d x + ∫ 0 b ϕ − 1 ( y ) d y . {\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy.} Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо b = ϕ ( a ) . {\displaystyle b=\phi (a).} Для розуміння доведення достатньо просто намалювати з довільною ϕ . {\displaystyle \phi .}
Власне доведення Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:
для всіх p ∈ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in (1,\infty )} і для будь-яких додатних сталих a {\displaystyle a} і b , {\displaystyle b,}
a b ≤ a p p + b p ′ p ′ , {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p'}}{p'}},} (1)
де 1 p + 1 p ′ = 1 , {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1,} тобто p ′ = p p − 1 . {\displaystyle p^{'}={\frac {p}{p-1}}.}
Для p = p ′ = 2 {\displaystyle p=p^{'}=2} нерівність очевидна: оскільки ( a − b ) 2 ≥ 0 {\displaystyle (a-b)^{2}\geq 0} і звідси a 2 − 2 a b + b 2 ≥ 0 , {\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0,} з цього a b ≤ a 2 2 + b 2 2 . {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}.}
Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо ϕ ( x ) = x p − 1 . {\displaystyle \phi (x)=x^{p-1}.} Оскільки p > 1 {\displaystyle p>1} маємо ϕ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \phi (0)=0} і ϕ {\displaystyle \phi } є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, ϕ − 1 ( y ) = y 1 p − 1 {\displaystyle \phi ^{-1}(y)=y^{\frac {1}{p-1}}} і з леми ми отримуємо
a b ≤ ∫ 0 a x p − 1 d x + ∫ 0 b y 1 p − 1 d y = a p p + b p ′ p ′ . {\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}x^{p-1}dx+\int _{0}^{b}y^{\frac {1}{p-1}}dy={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p'}}{p'}}.} Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли b = a p − 1 , {\displaystyle b=a^{p-1},} що тотожно до b p ′ = a p ′ ( p − 1 ) = a p . {\displaystyle b^{p'}=a^{p'(p-1)}=a^{p}.}
Покладемо a = | x i | d p ( x , 0 ) {\displaystyle a={\frac {|x_{i}|}{d_{p}(x,0)}}} і b = | y i | d p ′ ( y , 0 ) . {\displaystyle b={\frac {|y_{i}|}{d_{p'}(y,0)}}.} Завдяки (1) ми знаходимо
| x i y i | d p ( x , 0 ) d p ′ ( y , 0 ) ≤ | x i | p p [ d p ( x , 0 ) ] p + | y i | p ′ p ′ [ d p ′ ( y , 0 ) ] p ′ , {\displaystyle {\frac {|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}},} і звідси, беручи суму по всіх i {\displaystyle i} від 1 до n , {\displaystyle n,}
Σ i = 1 n | x i y i | d p ( x , 0 ) d p ′ ( y , 0 ) ≤ Σ i = 1 n | x i | p p [ d p ( x , 0 ) ] p + Σ i = 1 n | y i | p ′ p ′ [ d p ′ ( y , 0 ) ] p ′ = 1 p + 1 p ′ = 1. {\displaystyle {\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.} Отже, Σ i = 1 n | x i y i | ≤ d p ( x , 0 ) d p ′ ( y , 0 ) , {\displaystyle \Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0),} що і потрібно було довести.
Часткові випадки Нерівність Коші — Буняковского Поклавши p = q = 2 {\displaystyle p=q=2} , отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору L 2 {\displaystyle L^{2}} .
Евклідів простір Розглянемо Евклідів простір E = R n {\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}} або C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . L p {\displaystyle L^{p}} -норма у цьому просторі має вигляд:
‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p , x = ( x 1 , … , x n ) ⊤ {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }} ,тоді: ∑ i = 1 n | x i ⋅ y i | ≤ ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | y i | q ) 1 / q , ∀ x , y ∈ E {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall x,y\in E} .
Простір lp Нехай X = N , F = 2 N , m {\displaystyle X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m} — скінченна міра на N {\displaystyle \mathbb {N} } . Тоді множина всіх послідовностей { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} , таких що
‖ x ‖ p = ∑ i = 1 ∞ | x n | p < ∞ {\displaystyle \|x\|_{p}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty } ,називається l p {\displaystyle l^{p}} . Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:
∑ n = 1 ∞ | x n ⋅ y n | ≤ ( ∑ n = 1 ∞ | x n | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ n = 1 ∞ | y n | q ) 1 / q , ∀ x ∈ l p , y ∈ l q {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall x\in l^{p},y\in l^{q}} .Ймовірнісний простір Нехай ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} — ймовірнісний простір . Тоді L p ( Ω , F , P ) {\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} складається з випадкових величин із скінченним p {\displaystyle p} -м моментом : E [ | X | p ] < ∞ {\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty } , де символ E {\displaystyle \mathbb {E} } позначає математичне сподівання .
Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:
E | X Y | ≤ ( E | X | p ) 1 / p ⋅ ( E | Y | q ) 1 / q , ∀ X ∈ L p , Y ∈ L q . {\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall X\in L^{p},Y\in L^{q}.} Див. також Джерела