Угнута функція

Дійсна функція ${\displaystyle f}$ визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається увігнутою, якщо для ${\displaystyle \forall x,\forall y}$ в її області визначення ${\displaystyle C}$ маємо

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geqslant tf(x)+(1-t)f(y),\quad \forall t\in [0;1].}$

Функція називається строго увігнутою, якщо

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)\,\quad \forall t\in (0;1),\quad x\neq y.}$

Для функції ${\displaystyle f\colon R\to R}$ це означення просто стверджує, що ${\displaystyle \forall z\in (x;y)}$ точки ${\displaystyle (z;f(z))}$ на графіку ${\displaystyle f}$ є вище прямої, що з'єднує точки ${\displaystyle (x;f(x))}$ та ${\displaystyle (y;f(y))}$ .

Функція ${\displaystyle f(x)}$ є квазіувігнутою, якщо множини верхнього контуру функції ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geqslant a\}}$ є опуклими множинами.^[2]

• Функції ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ і ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ є увігнутими, оскільки їхні другі похідні завжди від'ємні.
• Будь-яка лінійна функція ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ одночасно й увігнута, й опукла.
• Функція ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ є увігнутою на відрізку ${\displaystyle [0,\pi ]\,}$ .
• Функція ${\displaystyle \log |B|}$ , де ${\displaystyle |B|}$ є визначником додатноозначеної матриці ${\displaystyle B}$ , є увігнутою.^[3]

• Опукла функція
• Нерівність Єнсена
• Точка перегину
• Опуклий аналіз

• Crouzeix, J.-P. (2008). Quasi-concavity. У Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (ред.). The New Palgrave Dictionary of Economics (вид. Second). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375.
• Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. с. 779. ISBN 0470183527.

• Опуклість та вгнутість функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 317. — 594 с.