Độ cong của một đường cong Định nghĩa Theo Cauchy , tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R {\displaystyle R} là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong κ {\displaystyle \kappa } chính là nghịch đảo của bán kính cong R {\displaystyle R} .
κ = 1 R {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}} Gọi d s {\displaystyle ds} là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:
κ = d ϕ d s {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}} Tính độ cong của một đường cong phẳng Trong hệ tọa độ Descartes Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số { x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} , từ phần trên ta có định nghĩa:
κ = d ϕ d s = d ϕ d t d s d t = d ϕ d t ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = d ϕ d t x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}} d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến . Từ đó ta có thể định nghĩa ϕ {\displaystyle \phi } là góc tiếp tuyến của đường cong.
tan ϕ = d y d x = d y d t d x d t = y ′ x ′ {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}} Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t {\displaystyle t} ta được:
d d t ( tan ϕ ) = ( 1 + tan 2 ϕ ) d ϕ d t = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}} ⇔ d ϕ d t = 1 1 + tan 2 ϕ x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = 1 1 + ( y ′ x ′ ) 2 x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}
Kết hợp các kết quả thu được ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}} Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} thì độ cong được tính như sau:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} Trong hệ tọa độ cực Xem thêm: Hệ tọa độ cực Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r ( θ ) {\displaystyle r=r(\theta )} thì độ cong được tính như sau:
κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} Ví dụ Đường thẳng Đường thẳng { x = t y = a t + b {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}} hay y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} sẽ có độ cong được tính như sau:
x ′ = 1 , x ″ = 0 , y ′ = a , y ″ = 0 , d y d x = a , d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0} Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = 1 ⋅ 0 − a ⋅ 0 ( 1 2 + a 2 ) 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0} hay công thức:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 0 [ 1 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0} Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.
Đường tròn Đường tròn { x = R cos t y = R sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}} hay r = R {\displaystyle r=R} sẽ có độ cong được tính như sau:
x ′ = − R sin t , x ″ = − R cos t , y ′ = R cos t , y ″ = − R sin t , d r d θ = 0 , d 2 r d θ 2 = 0 {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0} Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − R sin t ) ⋅ ( − R sin t ) − ( R cos t ) ⋅ ( − R cos t ) [ ( − R sin t ) 2 + ( R cos t ) 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} hay công thức:
κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 = R 2 + 2 ⋅ 0 2 − R ⋅ 0 [ R 2 + 0 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
Các đường khác Đường parabol y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} sẽ có độ cong được tính như sau: d y d x = 2 a x , d 2 y d x 2 = 2 a {\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a} Áp dụng công thức ta có:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + ( 2 a x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a ( 1 + 4 a 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}} Đường ellipse { x = a cos t y = b sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}} sẽ có độ cong được tính như sau: x ′ = − a sin t , x ″ = − a cos t , y ′ = b cos t , y ″ = − b sin t {\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t} Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − a sin t ) ⋅ ( − b sin t ) − ( b cos t ) ⋅ ( − a cos t ) [ ( − a sin t ) 2 + ( b cos t ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ ( a y b ) 2 + ( b x a ) 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 ( 1 − x 2 a 2 ) + b 2 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ a 2 − ( 1 − b 2 a 2 ) x 2 ] 3 / 2 = a b ( a 2 − e 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}} với e = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}} là tâm sai của ellipse.
Độ cong của một đường cong ghềnh Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}} được tính theo công thức
κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}} Độ cong của một mặt cong Độ cong Gauss Độ cong trung bình Độ cong của một không gian Tenxơ độ cong Riemann Tenxơ độ cong Ricci Xem thêm Tham khảo John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds