Độ lệch tâm

Đường cô-nic có thể được định nghĩa là quỹ tích các điểm mà tỉ lệ giữa khoảng cách từ điểm đó đến một điểm (được gọi là tiêu điểm) với khoảng cách từ điểm đó đến một đường thẳng (được gọi là đường chuẩn) là một hằng số. Tỉ lệ đó được gọi là độ lệch tâm, thường được ký hiệu là "e".

Độ lệch tâm cũng có thể được diễn tả bởi đường cô-nic được tạo thành bởi một mặt phẳng cắt một mặt nón hai đỉnh. Khi đó độ lệch tâm là

${\displaystyle e={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$

Trong đó α là góc giữa mặt phẳng đó với mặt phẳng ngang và β là góc giữa trục của mặt nón với mặt phẳng ngang.

Bán tiêu cự của một đường cô-nic, được ký hiệu là c (hoặc đôi khi là f hoặc e), là khoảng cách từ tâm điểm đến một trong hai tiêu điểm của nó. Độ lệch tâm lúc này được định nghĩa là tỉ lệ giữa tiêu cự với bán trục lớn a: tức là, ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$ .

đường cô-nic	phương trình	độ lệch tâm (e)	tiêu cự (c)
đường tròn	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
elíp	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
parabol	${\displaystyle y^{2}=4ax}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle a}$
hyperbol	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

trong đó, a là chiều dài của bán trục lớn và b là chiều dài của bán trục nhỏ.

Nếu đường cô-nic được cho dưới dạng phương trình bậc hai

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

thì công thức sau cho ta độ lệch tâm e nếu đường cô-nic đó không phải là một đường parabol hay một đường hyperbol thoái hóa hay một đường elíp thoái, hay một elíp ảo:^[1]

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}$

trong đó ${\displaystyle \eta }$ = 1 nếu định thức của ma trận 3x3

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$

mang dấu âm hoặc ${\displaystyle \eta }$ = -1 nếu mang dấu dương.

• MathWorld: Eccentricity