Đa thức Legendre

Một vài đa thức Legendre bậc nhỏ:

n	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle x\,}$
2	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}$
3	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}$
4	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}$
5	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}$
6	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}$

Đồ thị của các đa thức này (đến bậc n = 10) được vẽ bên dưới:

Tính trực giao

Các đa thức Legendre là trực giao với tích trong L² trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}$

với δ_mn là hàm delta Kronecker, bằng 1 nếu m = n và 0 nếu m ≠ n.

Lý do của tính trực giao là phương trình vi phân Legendre có thể coi là một bài toán Sturm–Liouville

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}\right]P(x)=-\lambda P(x),}$

với các trị riêng λ tương ứng với n(n+1).

Tính đối xứng

Các đa thức Legendre thỏa mãn

${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,}$

Chuẩn hóa

Khi chuẩn hóa, giá trị của đa thức Legendre tại 1 là:

${\displaystyle P_{n}(1)=1\,}$

và, theo tính đối xứng ở trên, tại -1 là:

${\displaystyle P_{n}(-1)=(-1)^{n}\,}$

Tại 0:

${\displaystyle P_{n}(0)=0\,}$

nếu n là số nguyên lẻ.

Giá trị đạo hàm tại 1 là:

${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,}$

Đệ quy

Đa thức Legendre thỏa mãn các liên hệ đệ quy:

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}}$

và

${\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}.}$

và

${\displaystyle (2n+1)P_{n}={d \over dx}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].}$

• Đa thức Legendre ở MathWorld