Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo

Số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo là hai loại số tự nhiên có quan hệ chặt chẽ với nhau trong lý thuyết số. Số nguyên tố Mersenne đặt theo tên nhà toán học Marin Mersenne là các số nguyên tố có thể biểu thị dưới dạng 2^p − 1 với p là số nguyên dương. Ví dụ, 3 là số nguyên tố Mersenne vì nó là số nguyên tố và có thể biểu diễn được dưới dạng 2² − 1.^[1][2] Bản thân các số p tương ứng với số nguyên tố Mersenne phải là số nguyên tố, nhưng ngược lại không phải mọi số nguyên tố p đều dẫn đến số nguyên tố Mersenne — ví dụ: 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89.^[3] Còn số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước số dương của chính nó, không bao gồm ước số là chính số đó. Theo đó, 6 là số hoàn hảo vì có các ước số (không bao gồm 6) là 1, 2, 3 và 1 + 2 + 3 = 6.^[2][4]

Tồn tại song ánh giữa các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn được phát biểu trong Định lý Euclid–Euler, do Euclid chứng minh một phần và Leonhard Euler hoàn thiện: các số chẵn là hoàn hảo khi và chỉ khi biểu diễn được dưới dạng 2^{p − 1} × (2^p − 1), trong đó 2^p − 1 là số nguyên tố Mersenne. Nói cách khác, những số nào biểu diễn được dưới dạng đó thì là số hoàn hảo, và tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng đó. Ví dụ, khi p = 2, 2² − 1 = 3 là số nguyên tố và 2^{2 − 1} × (2² − 1) = 2 × 3 = 6 là số hoàn hảo.^[1][5][6]

Một bài toán mở hiện chưa có câu trả lời là số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn có phải tập vô hạn không.^[2][6] Tần suất phân bố số nguyên tố Mersenne được đề cập qua phỏng đoán Lenstra – Pomerance – Wagstaff phát biểu rằng số lượng số nguyên tố Mersenne nhỏ hơn x cho trước là (e^γ / log 2) × log log x, trong đó e là số Euler, γ là hằng số Euler còn log là logarit tự nhiên.^[7][8][9] Việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ nào không hiện cũng chưa rõ; cũng như các điều kiện khác nhau về việc có thể tồn tại những số này, chẳng hạn như nếu có thì giới hạn dưới của chúng là 10¹⁵⁰⁰.^[10]

Danh sách dưới đây liệt kê tất cả các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hiện đã biết theo số mũ p tương ứng. Tính đến năm 2023^{[cập nhật]} đã khám phá được 51 số nguyên tố Mersenne (tương ứng với 51 số hoàn hảo), 17 số lớn nhất trong đó được phát hiện nhờ dự án máy tính phân tán Great Internet Mersenne Prime Search (Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet) viết tắt là GIMPS.^[2] Các số nguyên tố Mersenne mới được tìm thấy bằng Kiểm tra Lucas-Lehmer (Lucas-Lehmer test - LLT), một kiểm tra tính nguyên tố dành cho số nguyên tố Mersenne theo cách hiệu quả đối với máy tính nhị phân.^[2]

Các chỉ số xếp theo thứ tự tăng dần. Tính đến năm 2022^{[cập nhật]} vẫn có một xác suất nhỏ rằng thứ hạng có thể thay đổi nếu phát hiện được số nhỏ hơn. Theo GIMPS, tất cả các khả năng nhỏ hơn số mũ thích hợp thứ 48 là p = 57.885.161 đều đã được kiểm tra và xác minh đến tháng 1 năm 2024.^[11] Năm và người phát hiện được tính theo thời điểm cho số nguyên tố Mersenne, vì số hoàn hảo được tính theo hệ quả định lý Euclid-Euler. "GIMPS / tên" được dùng để chỉ những số nguyên tố được phát hiện bởi GIMPS và cá nhân đã phát hiện ra số nguyên tố đó. Các số về sau quá dài không viết hết được trong khuôn khổ nên chỉ hiển thị 6 chữ số đầu và 6 chữ số cuối.