Hàm hyperbol

Công thức biểu diễn các hàm hyperbol:

• Sin hyperbol:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}$

• Cos hyperbol:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}$

• Tang hyperbol:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

• Cotang hyperbol:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}$

• Sec hyperbol:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}$

• Cosec hyperbol:

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}$

Các hàm hyperbol có thể biểu diễn qua số phức:

• Sin hyperbol:

${\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}$

• Cos hyperbol:

${\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}$

• Tang hyperbol:

${\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}$

• Cotang hyperbol:

${\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}$

• Sec hyperbol:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}$

• Cosec hyperbol:

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}$

với i là đơn vị ảo định nghĩa là i² = −1.

Dạng phức trong các định nghĩa trên được dẫn ra từ công thức Euler.

Chú ý rằng, theo định nghĩa, sinh² x có nghĩa là (sinh x)², chứ không phải sinh(sinh x); và điều này tương tự cho các hàm hyperbol khác.

${\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}$

${\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}$

Từ đó:

${\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}$

${\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}$

${\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}$

${\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}$

Theo quan hệ trên dễ thấy cosh x và sech x là các hàm chẵn; còn lại là các hàm lẻ.

${\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}}$

Sin hyperbol và cos hyperbol thỏa mãn đẳng thức

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}$

tương tự như công thức lượng giác Pythagore: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!}$ . Do vậy ta cũng có:

${\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x}$

${\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}$

Tang hyperbol là nghiệm của bài toán giá trị biên phi tuyến^[4]:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}$

Người ta đã chứng minh rằng diện tích giới hạn bởi cung cosh x luôn luôn bằng chiều dài của cung đó:^[5]

${\displaystyle {\text{dien tich}}=\int _{a}^{b}{\cosh {x}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {x}\right)^{2}}}\ dx={\text{do dai cung}}.}$

Cộng các đối số

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x+y)&=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

đặc biệt

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}}$

Và:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\end{aligned}}}$

Công thức trừ

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh(x)\cosh(y)-\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x-y)&=\cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

Và:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\\\end{aligned}}}$

Nguồn tham khảo.^[6]

Công thức tính một nửa đối số

${\displaystyle \sinh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh(x)+1)}}}=\operatorname {sgn}(x)\,{\sqrt {\frac {\cosh(x)-1}{2}}}}$

với sgn là hàm dấu.

${\displaystyle \cosh \left({\frac {x}{2}}\right)={\sqrt {\frac {\cosh(x)+1}{2}}}}$

${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)+1}}=\operatorname {sgn}(x)\,{\sqrt {\frac {\cosh(x)-1}{\cosh(x)+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}}$

Nếu x ≠ 0, thì

${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{\sinh(x)}}=\coth(x)-\operatorname {csch} (x)}$ ^[7]

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}$

${\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1}$

${\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x=\sinh x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}},\left|x\right|<1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}},\left|x\right|>1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},0<x<1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}},x\neq 0}$

Xem thêm: Danh sách tích phân với hàm hyperbol

${\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C}$

${\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}$

với C là hằng số tích phân.

Ta có thể biểu diễn các hàm hyperbol bằng chuỗi Taylor:

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

Hàm sinh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ lẻ của x. Do vậy nó là hàm lẻ, hay, −sinh x = sinh(−x), và sinh 0 = 0.

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

Hàm cosh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ chẵn của x. Do vậy nó là hàm chẵn, hay, nó đối xứng qua trục y. Tổng của chuỗi sinh và cosh là biểu thức chuỗi vô hạn của hàm mũ.

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (chuỗi Laurent)

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (chuỗi Laurent)

với

${\displaystyle B_{n}\,}$ là số Bernoulli thứ n

${\displaystyle E_{n}\,}$ là số Euler thứ n

Từ định nghĩa của sinh và cosh hyperbol, ta có các đồng nhất thức sau:

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}$

và

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x}$

Các biểu thức trên tương tự như các hàm sin và cosin, dựa trên công thức Euler, như là tổng của hai mũ lũy thừa.

Thêm vào đó,

${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$

Vì hàm mũ được định nghĩa cho cả số phức, có thể mở rộng định nghĩa hàm hyperbol cho các đối số phức. Khi ấy các hàm sinh z và cosh z là những hàm chỉnh hình (Holomorphic function).

Các mối liên hệ giữa các hàm lượng giác thường được cho bởi công thức Euler và áp dụng cho các biến phức:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}$

do đó:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$

Vì vậy các hàm hyperbol phức là những hàm tuần hoàn theo phần ảo, với chu kỳ ${\displaystyle 2\pi i}$ (và ${\displaystyle \pi i}$ cho các hàm tang và cotang hyperbol).

Hàm hyperbol trong mặt phẳng phức

${\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {coth} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

• Hyperbolic functions Lưu trữ 2012-02-18 tại Wayback Machine on PlanetMath
• Hyperbolic functions entry at MathWorld
• GonioLab Lưu trữ 2007-10-06 tại Wayback Machine: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start)
• Web-based calculator of hyperbolic functions