Hàm số đơn điệu

Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Định nghĩa

Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K. Ta nói :

• Hàm số y = f(x) đồng biến nghiêm ngặt (tăng ngặt) trên K nếu với mọi cặp ${\displaystyle x_{1}}$ ,${\displaystyle x_{2}}$ thuộc K mà ${\displaystyle x_{1}}$ nhỏ hơn ${\displaystyle x_{2}}$ thì ${\displaystyle f(x_{1})}$ nhỏ hơn ${\displaystyle f(x_{2})}$ , tức là : ${\displaystyle x_{1}<x_{2}\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}$ ^[3][4]
• Hàm số y = f(x) nghịch biến nghiêm ngặt (giảm ngặt) trên K nếu với mọi cặp ${\displaystyle x_{1}}$ ,${\displaystyle x_{2}}$ thuộc K mà ${\displaystyle x_{1}}$ nhỏ hơn ${\displaystyle x_{2}}$ thì ${\displaystyle f(x_{1})}$ lớn hơn ${\displaystyle f(x_{2})}$ , tức là: ${\displaystyle x_{1}<x_{2}\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})}$ ^[3][4]

Tính chất 1

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên K.

• Nếu ${\displaystyle f'(x)>0,\forall x\in K}$ thì hàm số y=f(x) đồng biến trên K ^[5]
• Nếu ${\displaystyle f'(x)<0,\forall x\in K}$ thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên K ^[5]

Tính chất 2

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu ${\displaystyle f'(x)\geq 0,\forall x\in K}$ và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

Nếu ${\displaystyle f'(x)\leq 0,\forall x\in K}$ và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

• Phan Đức Chính và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Toán 9, tập 1, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, 2011.
• Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Đại số 10, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, 2010.
• Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam