Hệ tọa độ Descartes

Là 2 trục vuông góc x'Ox và y'Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ sao cho độ dài của 2 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Nếu ${\displaystyle {\vec {a}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}}$ thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ . x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của ${\displaystyle {\vec {a}}}$ .

Ký hiệu ${\displaystyle {\vec {a}}=(x;y)}$

Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất:

• ${\displaystyle \forall x\neq 0,M(x;0)\in Ox}$
• ${\displaystyle \forall y\neq 0,M(0;y)\in Oy}$
• Tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ có điểm cuối là điểm đó và điểm đầu là O. Ta có ${\displaystyle M\left(x,y\right)\Leftrightarrow {\overrightarrow {OM}}=(x;y)}$

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$ , khi đó ta có ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}\right)}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$ , khi đó ${\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\right\vert ={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}$ là độ dài của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$ , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là ${\displaystyle AB={\sqrt {\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}}}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2})}$ . Gọi ${\displaystyle \alpha }$ là góc giữa 2 vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}}$ . Khi đó ${\displaystyle \cos \alpha ={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} \over {\sqrt {\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)}}}}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$ ta có ${\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{1};ka_{2})}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2})}$ ta có

• ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}}$ cùng phương ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}}$

Cho đoạn thẳng AB có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$ , Khi đó ${\displaystyle I\left({x_{A}+x_{B} \over 2};{y_{A}+y_{B} \over 2}\right)}$ là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$ có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$ , ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$ và ${\displaystyle C(x_{C};y_{C})}$ , khi đó ${\displaystyle G\left({x_{A}+x_{B}+x_{C} \over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} \over 3}\right)}$ là tọa độ trọng tâm của ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$

Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 vectơ đơn vị ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ , ${\displaystyle {\vec {k}}}$ sao cho độ dài của 3 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một

Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.

Tính chất

• ${\displaystyle \forall xy\neq 0,A(x,y,0)\in Oxy}$
• ${\displaystyle \forall xz\neq 0,A(x,0,z)\in Oxz}$
• ${\displaystyle \forall yz\neq 0,A(0,y,z)\in Oyz}$
• ${\displaystyle \forall x\neq 0,M(x;0;0)\in Ox}$
• ${\displaystyle \forall y\neq 0,M(0;y;0)\in Oy}$
• ${\displaystyle \forall z\neq 0,M(0;0;z)\in Oz}$

Trong không gian, cho vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}$ , khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ .

Ký hiệu: ${\displaystyle {\vec {a}}=(x;y;z)}$

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$ , khi đó ta có ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}\right)}$

Cho điểm ${\displaystyle M(x_{M};y_{M};z_{M})}$ , khi đó ta có ${\displaystyle {\vec {OM}}=(x_{M};y_{M};z_{M})}$ và ngược lại

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$ , khi đó ${\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\right\vert ={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}$ là độ dài của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$ , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là ${\displaystyle AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})}$ . Gọi ${\displaystyle \alpha }$ là góc giữa 2 vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}}$ . Khi đó

${\displaystyle \cos(\alpha )={{\vec {a}}.{\vec {b}} \over \left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert }={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} \over {\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})}}}}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\left\vert [{\vec {a}};{\vec {b}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert }}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$ ta có ${\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{1};ka_{2};ka_{3})}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})}$ ta có

• ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}$
• ${\displaystyle \left[{\vec {a}},{\vec {b}}\right]={\big (}{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}};{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}};{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}})}$

Cho đoạn thẳng AB có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$ , Khi đó ${\displaystyle I\left({x_{A}+x_{B} \over 2};{y_{A}+y_{B} \over 2};{z_{A}+z_{B} \over 2}\right)}$ là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$ có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$ , ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$ và ${\displaystyle C(x_{C};y_{C};z_{C})}$ , khi đó ${\displaystyle G\left({x_{A}+x_{B}+x_{C} \over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} \over 3};{z_{A}+z_{B}+z_{C} \over 3}\right)}$ là tọa độ trọng tâm của ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$

1. Sách giáo khoa Toán 7 tập 1
2. Sách giáo khoa Hình học lớp 10
3. Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao
4. Sách giáo khoa Hình học lớp 12
5. Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao

• Không gian nhiều chiều
• Hình học phi Euclide
• Không-thời gian
• Hệ tọa độ cực
• Hình học Euclid

• Weisstein, Eric W., "Cartesian Coordinates" từ MathWorld.
• Đại số vectơ và phương pháp tọa độ Lưu trữ 2006-06-22 tại Wayback Machine