根據 的定義(嚴謹來說,依據分類公理所新增的公理),對所有集合 有: (a)
以下將逐條檢驗σ代数的定義,來驗證 的確是 的σ代数: (1) 對所有的集合族 來說,只要 是σ代数,按照定義理當有 ,所以由式(a)的右方的確可以得出 。 (2)若 ,則 也在 中 若 ,那根據式(a),對所有的集合族 來說,只要 是σ代数 且 ,理當有 ,所以對所有 只要滿足這兩個條件,理當有 ,所以由式(a)的右方的確有:
(3)可數個并集也在 中 若 ,由式(a),只要 滿足(a)左方的兩個條件,就有 ,所以:
所以再從(a)右方,就可以得到:
綜上所述, 的確是 的σ代数。 |