例子
隱函數的导数
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:
方法一
- 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
示例
把一元隐函数
看作二元函数
,若欲求
,對
取全微分,可得
,經過移項可得
(式中
表示
關於
的偏导数
,以此類推)。
把2元隐函数
看作3元函数
,若欲求
,對
取全微分,可得
。
由於所求為
,令z為常數,即
,經過移項可得
方法二
- 針對1元隱函數,把
看作
的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对
求导,再通过移项求得
的值。 - 針對2元隱函數,把
看作
的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对
求导,令
,再通过移项求得
的值。
示例
- 針對
:
- 針對
:
- 求
中y對x的導數。
為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。
1.兩邊皆取其相應的導數,得出
2.移項處理。
3.提出導數因子。
4.移項處理。
5.完成。得出其導數為
。
6.選擇性步驟:因式分解。
參見