User:Zao/沙盒
密率
以 為例
得
約率
以 為例
得
商除法
傳統除法算法,源於籌算,在《孫子算經》中有論述。但其時尚無「商除」之名,此名首見於楊輝所著《楊輝算法》的《算法通變本末》。
商除法求約率
以約率為例。為簡單起見,先以兩個算盤(一個記錄商,一個記錄餘)說明之。
(例)
- 第一位
置數 | 估商 估為 | 減積 | ||||||||||||||||||||||||||
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| → |
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| → |
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( | ( | ( | ( | ( | ( | |||||||||||||||||||||||
- 第二位
估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||
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| → |
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| → |
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( | ( | ( | ( | ( | ( | |||||||||||||||||||||||
- 第三位
估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||
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| → |
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| → |
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( | ( | ( | ( | ( | ( | |||||||||||||||||||||||
得到 。
商除法求密率
而實際在計算時,會使用一個算盤同時放置商數和餘數,就是分區放。要如何有效利用有限的檔位,又不影響計算,其規律就是夠除,隔位置商;不夠除,挨位置商。
以密率為例,說明完整的商除法。
以 為例
- 第一位
置數 | 估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
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- 第二位
前次結果 | 估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
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- 第三位
前次結果 | 估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
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- 第四位
前次結果 | 估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
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- 第五位
前次結果 | 估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
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- 第六位。注意,這位是不夠除,挨位置商。
前次結果 | 估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
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- 第七位。
前次結果 | 估商 估為 | 減積 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
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得
歸除法求約率
以約率為例。
以 為例
置數 | 七二下加六 商設為 | 逢七進一 商 | 七一下加三 商設為 | 七三四餘二 商設為 | ||||||||||||||||||||||||
| → |
| → |
| → |
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" | ||||||||||||||||||||||||||||
得
歸除法求密率
跟單歸法類似,也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。
以 為例,可以先用 300 來估商,因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積(如「三一三餘一」中,餘一的部分已加入下一檔)。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念:除數的首數稱為歸,除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話,稱作3歸21除,意味著用 3歸求商及其減積,再以 21 來完成乘下的減積。
減積後,有可能發現的估商需要調整。若過小,需要增商,這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」;若過大,則需退商,則有退商口訣:
- 一歸:無除起一下還一
- 二歸:無除起一下還二
- 三歸:無除起一下還三
- 四歸:無除起一下還四
- 五歸:無除起一下還五
- 六歸:無除起一下還六
- 七歸:無除起一下還七
- 八歸:無除起一下還八
- 九歸:無除起一下還九
這口訣有明顯規律:「無除起(也有作「退」)一下還 n」,無需特別記憶。
另外,也有可能發現在某些情況(即除數、被除數差不多大,卻又不夠除時)下,無法估商,則使用撞歸口訣:
- 一歸:見一無除撞九一
- 二歸:見二無除撞九二
- 三歸:見三無除撞九三
- 四歸:見四無除撞九四
- 五歸:見五無除撞九五
- 六歸:見六無除撞九六
- 七歸:見七無除撞九七
- 八歸:見八無除撞九八
- 九歸:見九無除撞九九
這口訣也有明顯規律:「見 n 無除撞(也有作「作」)九 n」,無需特別記憶。它的意思是,在「除數、被除數的首數同為 n,卻又不夠除,直接估商為 9,下一檔要 +n」時。當首數相同,卻又無法進 1 (代表 10),則估商就從 9 開始。減積後,需要在下一檔 +n 。
以密率為例,因為除數為 ,故稱之為「一歸十三除」,相關口訣如下:
- 九歸口訣:逢一進一,逢二進二,逢三進三,逢四進四,逢五進五,逢六進六,逢七進七,逢八進八,逢九進九。
- 退商口訣:無除起一下還一。
- 撞歸口訣:見一無除撞九一。
以 為例
- 第一位
置數 | 逢三進三 商為 | 以十三除減積
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- 第二位
前次結果 | 逢一進一 商為 | 以十三除減積
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- 第三位
前次結果 | 逢四進四 商為 | 以十三除減積
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- 第四位
前次結果 | 逢一進一 商為 | 以十三除減積
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| → |
| → |
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- 第五位
前次結果 | 逢六進六 商為 | 以十三除減積
| 加回減積 | 退商 無除起一下還一商 | 以十三除減積
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- 第六位
前次結果 | 見一無除撞九一 商為 | 以十三除減積
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- 第七位
前次結果 | 逢三進三 商為 | 以十三除減積
| 加回減積 | 退商 無除起一下還一 商 | 以十三除減積
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得