Трансцендентно число

• Множеството на трансцендентните числа е континуално.
• Всяко трансцендентно реално число е ирационално, но обратното не е вярно.
• Редът на множеството на трансцендентните реални числа е изоморфен на реда на множеството на ирационалните числа.
• Мярката на ирационалност на почти всяко трансцендентно число е равна на 2.

• Числото ${\displaystyle \pi }$ .
• Числото ${\displaystyle e}$ .
• Десетичният логаритъм на кое да е цяло число, освен числата от вида ${\displaystyle 10^{n}}$ .^[1]
• ${\displaystyle \sin a}$ , ${\displaystyle \cos a}$ и ${\displaystyle \mathrm {tg} \,a}$ за кое да е ненулево алгебрично число ${\displaystyle a}$ .

Името „трансцендентно“ идва от латинското transcendĕre – „изкачвам, прехвърлям“^[2] и е използвано за пръв път в математиката от Лайбниц през 1682 г. в негов труд, където доказва, че sin(x) не е алгебрична функция на x.^[3][4] Ойлер е може би първият човек, който определя трансцендентните числа в съвременния им смисъл.^[5]

Йохан Ламберт предполага, че e и π са трансцендентни числа в своя труд от 1768 г., доказващ, че числото π е ирационално, и предлага пробна скица за доказателство на трансцендентността на π.^[6]

Жозеф Лиувил е първият, доказал съществуването на трансцендентни числа през 1844 г.,^[7] а през 1851 г. дава първите десетични примери като числото на Лиувил:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.1100010000000000000000010000\ldots }$

в което n-тата цифра след десетичната запетая е 1, ако n е равно на k! (k факториел) за някои k и 0 в противния случай.^[8] С други думи, n-тата цифра на това число е 1 само ако n е едно от числата 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и т.н. Лиувил показва, че това число е именно това, което днес наричаме число на Лиувил. В основата си това означава, че то може да бъде приближено по-близко чрез рационални числа, отколкото с кое да е ирационално алгебрично число. Лиувил доказва, че всички числа на Лиувил са трансцендентни.^[9]

Първото число, което е доказано, че е трансцендентно, без да бъде специално построено за целта, е e от Шарл Ермит през 1873 г.

През 1874 г. Георг Кантор доказва, че алгебричните числа са изброими, а реалните числа са неизброими. Той, също така, дава нов метод за построяване на трансцендентни числа.^[10][11] През 1878 г. Кантор публикува конструкция, която доказва, че има толкова трансцендентни числа, колкото и реални числа.^[12] Неговия труд установява вездесъщността на трансцендентните числа.

През 1882 г. Фердинанд фон Линдеман публикува доказателство, че числото π е трансцендентно. Първоначално показва, че e^a е трансцендентно, когато a е алгебрично и ненулево. Тогава, тъй като e^iπ= −1 е алгебрично, iπ и следователно (вж. равенство на Ойлер) π трябва да е трансцендентно. Този подход е обобщен от Карл Вайерщрас в теоремата на Линдеман-Вайерщрас. Трансцендността на π позволява доказателството на невъзможността на няколко древни геометрични построения, сред които построения с линийка и пергел, включващи известната квадратура на кръга.

През 1900 г. Давид Хилберт поставя влиятелен въпрос относно трансцендентните числа: Ако a е алгебрично число, което не е нула или единица, а b е ирационално алгебрично число, то задължително ли е a^b да е трансцендентно? Потвърдителният отговор е предоставен през 1934 г. от теоремата на Гелфон-Шнайдер. Трудът е разширен от Алан Бейкър през 1960-те години.^[13]