Cua d'una distribució de probabilitat
En teoria de probabilitats i en estadística, la cua d'una distribució de probabilitat és el comportament de la distribució de probabilitat a l'àrea lluny del seu valor central.
En un vocabulari més estadístic, és habitual parlar de cua d'una distribució.
Història i relació amb la curtosi
La cua d'una distribució està lligada a la seva curtosi. Aquest coeficient de curtosi dóna la concentració dels valors al voltant del valor central de la distribució i per tant la concentració dels valors extrems, és a dir, lluny de la mediana.[1] Per a la curtosi zero, es diu que la corba es mesocúrtica i és equivalent a la de la distribució normal. Per a la curtosi negativa, es diu que la corba és platicúrtica i la cua és lleugera (de fet, més lleugera que la distribució normal); mentre que per a una curtosi positiva es diu que la corba és leptocúrtica i la cua és pesada (més pesada que la distribució normal).[1]
- Corba leptocúrtica (curtosi positiu)
- Corba mesocúrtica (curtosi zero)
- Corba platicúrtica (curtosi negatiu
L'any 1908, com a dispositiu mnemotècnic, William Gosset va dibuixar dos dibuixos amb un ornitorrinc per a les corbes platicúrtiques i dos cangurs per a les corbes leptocúrtiques.[1] El terme cua (tail en anglès) prové de les cues d'aquests dos animals.
Definicions
Considereu una llei de probabilitat , la funció de distribució del qual ve donada per
.
La «funció de cua»[2] de la distribució és la funció
.
La distribució es diu que té una «propietat de cua»[2] si la funció F té una propietat que només depèn del conjunt de valors
per a tot
finit.
És possible comparar les cues de dues distribucions de probabilitat. Es diu que dues lleis de les respectives funcions de distribució F i G tenen «cues equivalents» si:[3]
quan
Tipus de cues
Distribució de cua gruixuda
Es diu que una distribució de probabilitat és «cua gruixuda»[4] o de «cua pesada»[1] si la seva funció de distribució verifica:
per a tot
.
En cas contrari la distribució s'anomena de «cua fina» o de «cua lleugera».
Distribució de cua llarga
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Long_tail.svg/220px-Long_tail.svg.png)
Es diu que una distribució de probabilitat té una «cua llarga» o una «cua arrossegada» si el suport de la seva funció de distribució no està acotat i si per a tot y > 0[4]
per a tot
.
Les distribucions de cua llarga són les mateixes distribucions de cua pesada.[4]
Referències
Bibliografia
- Bellos, Alex. Alex au pays des chiffres (en francès). Éditions Robert Laffont.
- Bogaert, Patrick. Probabilités pour scientifiques et ingénieurs. Introduction au calcul des probabilités (en francès). París: Éditions De Boeck, 2006.
- Foss, Sergey. An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions (en anglès). Springer, 2011.
- Klüppelberg, Claudia «Subexponential Distributions and Integrated Tails» (en anglès). Journal of Applied Probability, 25(1), 1988, pàg. 132-141.