Distribució normal

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}={\frac {1}{\sigma }}\,\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

on σ és la desviacio estàndard, μ és l'esperança matemàtica, i

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$

és la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard, és a dir, la distribució normal amb μ = 0 i σ = 1. Per comprovar que la integral de ${\displaystyle \varphi (x)}$ sobre la recta real és igual a 1 vegeu la integral de Gauß.^[3][4]

La funció de distribució d'una distribució normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ és

$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x}f(t;\mu ,\sigma )\,dt={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-(t-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dt,\quad x\in \mathbb {R} .}$$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

${\displaystyle \Phi (x)}$

$${\displaystyle \Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt,\quad x\in \mathbb {R} .}$$

$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\Phi {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}.}$$

(Vegeu mes avall l'apartat sobre estandardització de variables normals).^[5][6]

Es important remarcar que la funció de distribució no és pot expressar en termes de funcions elementals (polinomis, exponencials, funcions trigonomètriques,..) Vegeu un comentari sobre la demostració d'aquesta propietat a l'article.^[7] Per aquest motiu, de cara a la utilització pràctica de les distribucions normals i els càlculs numèrics corresponents, les aproximacions a la funció de distribució són molt importants i s'han utilitzat tècniques d'integració numèrica, sèries de Taylor, sèries asimptòtiques o fraccions contínues. Vegeu Patel and Read per una revisió d'aquestes aproximacions.^[8]

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(tX). Per la distribució normal la funció generadora de moments és:^[6]

$${\displaystyle M_{X}(t)=\mathrm {E} \left[\exp {(tX)}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}\exp {(tx)}\,dx=\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}.}$$

Funció característica

La funció característica es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(itX), on i és el nombre imaginari, i t és un nombre real. Per la distribució normal la funció característica és:^[9][10]

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E{\big [}e^{itX}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\exp(itx)\,dx=\exp \left(i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right).}$$

Algunes propietats:

1. Si ${\displaystyle X\,\sim \,{\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ i ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ són nombres reals, aleshores ${\displaystyle aX+b\,\sim \,N(a\mu +b,(a\sigma )^{2})}$ (veure esperança i variància).^[11]
2. Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$ i ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$ són variables aleatòries normals independents, aleshores:^[12][11]
   • La seva suma segueix la distribució normal amb ${\displaystyle U=X+Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}$ .
   • La seva diferència segueix una distribució normal amb ${\displaystyle V=X-Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}$ .
   • ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle V}$ són independents si i només si ${\displaystyle \sigma _{X}=\sigma _{Y}}$ .
   • La divergència de Kullback-Leibler,^[13] ${\displaystyle D_{\rm {KL}}(X\|Y)={1 \over 2}\left(\log \left({\sigma _{Y}^{2} \over \sigma _{X}^{2}}\right)+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}+{\frac {\left(\mu _{Y}-\mu _{X}\right)^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-1\right).}$
3. Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{X}^{2})}$ i ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{Y}^{2})}$ són variables aleatòries normals independents, aleshores:^[12]
   • El seu producte ${\displaystyle XY}$ segueix una distribució and funció de probabilitat de densitat ${\displaystyle p}$ donada per

     ${\displaystyle p(z)={\frac {1}{\pi \,\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\;K_{0}\left({\frac {|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),}$ on ${\displaystyle K_{0}}$ és una funció de Bessel modificada de segon tipus.

   • El seu qüocient segueix una distribució de Cauchy amb ${\displaystyle X/Y\,\sim \,\mathrm {Cauchy} (0,\,\sigma _{X}/\sigma _{Y})}$ .
4. Si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ són variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb distribució normal estàndard, aleshores ${\displaystyle X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}}$ segueix una distribució khi quadrat amb n graus de llibertat.^[14]

Estandardització de variables aleatòries normals

Com a conseqüència de la propietat 1, és possible relacionar totes les variables aleatòries normals amb la distribució normal estàndard; aquest procediment s'anomena estandardització d'una variable normal.

Si ${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ , aleshores

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\!}$

és una variable aleatòria normal estàndard: ${\displaystyle \ Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ .Una conseqüència important és que la funció de distribució de ${\displaystyle \ X}$ és :

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\Pr(X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

on ${\displaystyle \Phi }$ és la funció de distribució normal estàndard: per a tot real t,

${\displaystyle \ \Phi (t)=\int _{-\infty }^{\,t}\phi (u)\,du=\int _{-\infty }^{\,t}{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {u^{2}}{2}}}\,du={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right).}$

D'altra banda, si ${\displaystyle Z}$ és una variable aleatòria normal estàndard, ${\displaystyle \ Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ , aleshores

${\displaystyle X=\sigma \,Z+\mu }$

és una variable aleatòria normal amb esperança ${\displaystyle \mu }$ i variància ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ .

La funció de distribució normal estàndard ${\displaystyle \Phi }$ ha estat tabulada, i les altres funcions de distribució normals en són simples transformacions, tal com hem explicat anteriorment. Per tant, un pot emprar valors tabulats de la funció de distribució normal estàndard per a trobar el valor de la funció de distribució de qualsevol altra distribució normal.

Alguns dels primers moments de la distribució normal són:

Número	Moment	Moment central	Cumulant
0	1	1
1	${\displaystyle \mu }$	0	${\displaystyle \mu }$
2	${\displaystyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
3	${\displaystyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}}$	0	0
4	${\displaystyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}}$	${\displaystyle 3\sigma ^{4}}$	0

Tots els cumulants de la distribució normal a partir del segon són zero.

Moments d'una variable normal centrada

Per a les variables aleatòries normals centrades tenim la següent fórmula per als moments de qualsevol ordre. Si ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ aleshores ^[15]

$${\displaystyle E[Z^{k}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\\\{\dfrac {(2n)!}{2^{n}\,n!}},&{\text{si}}\ k=2n.\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\frac {(2n)!}{2^{n}\,n!}}={\frac {(2n-1)!}{2^{n-1}\,(n-1)!}}=(2n-1)(2n-3)\cdots 1=(2n-1)!!=(k-1)!!,}$$

${\displaystyle m!!}$

${\displaystyle m}$

$${\displaystyle E[Z^{k}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\\\(k-1)!!,&{\text{si}}\ k\ {\text{és parell}}.\end{cases}}}$$

Alternativament, usant la relació del doble factorial amb la funció gamma, per a ${\displaystyle k}$ parell,

$${\displaystyle (k-1)!!={\frac {2^{k/2}}{\sqrt {\pi }}}\,\Gamma {\Big (}{\frac {k+1}{2}}{\Big )},}$$

${\displaystyle \Gamma (x)}$

De la fórmula pels moments de ${\displaystyle Z}$ és dedueix que si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ , aleshores

$${\displaystyle E[X^{k}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\(k-1)!!\,\sigma ^{k},&{\text{si}}\ k\ {\text{és parell}}.\end{cases}}}$$

Cas general

Sigui ${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ , i designem per ${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]}$ el moment d'ordre ${\displaystyle k}$ . Aleshores ^[16]

$${\displaystyle m_{k}=\sigma ^{k}k!\sum _{j=0}^{[k/2]}{\frac {(\mu /\sigma )^{k-2j}}{2^{j}j!(k-2j)!}},}$$

${\displaystyle [r]}$

${\displaystyle r}$

Recurrència pels moments d'una variable normal

Amb les notacions anteriors tenim ^[16]

$${\displaystyle m_{k+1}=\mu \,m_{k}+k\sigma ^{2}m_{k-1},\quad k\geq 1.\qquad \qquad (*)}$$

Expressió compacta dels moments

Suposem que ${\displaystyle \sigma =1}$ . Aleshores

$${\displaystyle m_{k}=e^{-\mu ^{2}/2}\,{\frac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}},}$$

${\displaystyle d^{n}f(x)/dx^{n}}$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle d^{0}f(x)/dx^{0}=f(x)}$

$${\displaystyle P_{k}(\mu )=e^{-\mu ^{2}/2}\,{\frac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}},}$$

${\displaystyle P_{0}(\mu )=1}$

${\displaystyle P_{1}(\mu )=\mu }$