Distribució de Behrens-Fisher

La distribució de Behrens-Fisher és la distribució d'una variable aleatòria de la forma^[3]

${\displaystyle T_{2}\cos \theta -T_{1}\sin \theta \,}$

on T ₁ i T ₂ són variables aleatòries independents cadascuna amb una distribució t de Student, amb els respectius graus de llibertat ν ₁ = n₁−1 i ν ₂ = n₂−1, i θ és una constant. Així, la família de distribucions de Behrens–Fisher està parametritzada per ν₁ , ν₂ , i θ.

Suposem que se sap que les dues variacions poblacionals són iguals i que es prenen mostres de mides n ₁ i n ₂ de les dues poblacions:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1,1},\ldots ,X_{1,n_{1}}&\sim \operatorname {i.i.d.} N(\mu _{1},\sigma ^{2}),\\[6pt]X_{2,1},\ldots ,X_{2,n_{2}}&\sim \operatorname {i.i.d.} N(\mu _{2},\sigma ^{2}).\end{aligned}}}$

on "iid" són variables aleatòries independents i distribuïdes de manera idèntica i N denota la distribució normal. Els dos mitjans de mostra són

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {X}}_{1}&=(X_{1,1}+\cdots +X_{1,n_{1}})/n_{1}\\[6pt]{\bar {X}}_{2}&=(X_{2,1}+\cdots +X_{2,n_{2}})/n_{2}\end{aligned}}}$

L'estimació no esbiaixada "agrupada" habitual de la variància comuna σ² és llavors

${\displaystyle S_{\mathrm {pooled} }^{2}={\frac {\sum _{k=1}^{n_{1}}(X_{1,k}-{\bar {X}}_{1})^{2}+\sum _{k=1}^{n_{2}}(X_{2,k}-{\bar {X}}_{2})^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}={\frac {(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}$

on S₁² i S₂² són les estimacions habituals no esbiaixades (corregides per Bessel) de les dues variàncies poblacionals.