Distribució de Lévy envoltada

La fdp de la distribució de Lévy embolicada és ^[3]

${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}}$

on el valor del sumand es pren com a zero quan ${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$ , ${\displaystyle c}$ és el factor d'escala i ${\displaystyle \mu }$ és el paràmetre d'ubicació. Expressant la fdp anterior en termes de la funció característica de la distribució de Lévy s'obté:

${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-in(\theta -\mu )-{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn} {n})}={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{-{\sqrt {cn}}}\cos \left(n(\theta -\mu )-{\sqrt {cn}}\,\right)\right)}$

Pel que fa a la variable circular ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ els moments circulars de la distribució de Lévy envoltada són la funció característica de la distribució de Lévy avaluada en arguments enters:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WL}(\theta ;\mu ,c)\,d\theta =e^{in\mu -{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn}(n))}.}$

on ${\displaystyle \Gamma \,}$ és un interval de longitud ${\displaystyle 2\pi }$ . El primer moment és llavors el valor esperat de z, també conegut com a resultant mitjana o vector resultant mitjà:

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -{\sqrt {c}}(1-i)}}$

L'angle mitjà és

${\displaystyle \theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu +{\sqrt {c}}}$

i la longitud de la resultant mitjana és

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-{\sqrt {c}}}}$ ^[4]