En estadística , la distribució de Pareto generalitzada (GPD) és una família de distribucions de probabilitat contínues. Sovint s'utilitza per modelar les cues d'una altra distribució. S'especifica per tres paràmetres: ubicació μ {\displaystyle \mu } escala σ {\displaystyle \sigma } forma ξ {\displaystyle \xi } [1] [2] [3] κ = − ξ {\displaystyle \kappa =-\xi \,} [4]
Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus distribució de probabilitat contínua Paràmetres μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,} ubicació (real ) σ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,} escala (real)
ξ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,} forma (real)Suport x ⩾ μ ( ξ ⩾ 0 ) {\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)} μ ⩽ x ⩽ μ − σ / ξ ( ξ < 0 ) {\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)} fdp 1 σ ( 1 + ξ z ) − ( 1 / ξ + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}} z = x − μ σ {\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}} FD 1 − ( 1 + ξ z ) − 1 / ξ {\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,} Esperança matemàtica μ + σ 1 − ξ ( ξ < 1 ) {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)} Mediana μ + σ ( 2 ξ − 1 ) ξ {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}} Moda μ {\displaystyle \mu } Variància σ 2 ( 1 − ξ ) 2 ( 1 − 2 ξ ) ( ξ < 1 / 2 ) {\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)} Coeficient de simetria 2 ( 1 + ξ ) 1 − 2 ξ ( 1 − 3 ξ ) ( ξ < 1 / 3 ) {\displaystyle {\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)} Curtosi 3 ( 1 − 2 ξ ) ( 2 ξ 2 + ξ + 3 ) ( 1 − 3 ξ ) ( 1 − 4 ξ ) − 3 ( ξ < 1 / 4 ) {\displaystyle {\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)} Entropia log ( σ ) + ξ + 1 {\displaystyle \log(\sigma )+\xi +1} FGM e θ μ ∑ j = 0 ∞ [ ( θ σ ) j ∏ k = 0 j ( 1 − k ξ ) ] , ( k ξ < 1 ) {\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)} FC e i t μ ∑ j = 0 ∞ [ ( i t σ ) j ∏ k = 0 j ( 1 − k ξ ) ] , ( k ξ < 1 ) {\displaystyle e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(it\sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}
Definició Caracterització La família de distribucions a escala de localització relacionada s'obté substituint l'argument z per x − μ σ {\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}}
La funció de distribució acumulada de X ∼ G P D ( μ , σ , ξ ) {\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )} μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }
F ( μ , σ , ξ ) ( x ) = { 1 − ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) − 1 / ξ per a ξ ≠ 0 , 1 − exp ( − x − μ σ ) per a ξ = 0 , {\displaystyle F_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{per a }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{per a }}\xi =0,\end{cases}}}
on el suport de X {\displaystyle X} x ⩾ μ {\displaystyle x\geqslant \mu } ξ ⩾ 0 {\displaystyle \xi \geqslant 0\,} μ ⩽ x ⩽ μ − σ / ξ {\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi } ξ < 0 {\displaystyle \xi <0}
La funció de densitat de probabilitat (fdp) de X ∼ G P D ( μ , σ , ξ ) {\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}
f ( μ , σ , ξ ) ( x ) = 1 σ ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) ( − 1 ξ − 1 ) {\displaystyle f_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}
de nou, per x ⩾ μ {\displaystyle x\geqslant \mu } ξ ⩾ 0 {\displaystyle \xi \geqslant 0} μ ⩽ x ⩽ μ − σ / ξ {\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi } ξ < 0 {\displaystyle \xi <0}
La fdp és una solució de l'equació diferencial següent:
{ f ′ ( x ) ( − μ ξ + σ + ξ x ) + ( ξ + 1 ) f ( x ) = 0 , f ( 0 ) = ( 1 − μ ξ σ ) − 1 ξ − 1 σ } {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}}
Referències 
![{\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf9f358ac58dcba4130cba492879256576e783)
![{\displaystyle e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(it\sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bfef161abce3834ebc5908620389e3174d612f)
