Distribució hipergeomètrica

La distribució hipergeomètrica, en estadística i teoria de probabilitat, és una distribució de probabilitat que descriu el nombre d'èxits en una seqüència de n extraccions d'una població finita sense reposició, això és el contrari de la distribució binomial, que descriu el nombre d'èxits d'extraccions amb reposició.^[1]

Distribució hipergeomètrica

Tipus	distribució univariant i distribució de probabilitat discreta
Paràmetres	${\displaystyle {\begin{aligned}N&\in 1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 1,2,\dots ,N\end{aligned}}\,}$
Suport	${\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle nm \over N}$
Moda	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
Variància	${\displaystyle nm(N-n)(N-m) \over N^{2}(N-1)}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle {\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
Curtosi	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.}$ ${\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}$
FC	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}$
Mathworld	HypergeometricDistribution

Per tant, aquesta distribució ens permet calcular la probabilitat que tinguem k èxits extraient n boles.

Il·lustrem la notació en aquesta taula:

Segurament, la forma més fàcil d'entendre aquesta distribució és en termes d'un models d'urnes. Suposeu que heu d'extreure "n" boles sense reposició d'una urna que conté "N" boles en total, "m" de les quals són blanques. La distribució hipergeomètrica descriu la distribució del nombre de boles blanques de l'urna.

Una variable aleatòria X segueix la distribució hipergeomètrica amb paràmetres N, m i n si la probabilitat s'expressa per

${\displaystyle P(X=k)={{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}},}$

on el coeficient binomial ${\displaystyle {\tbinom {a}{b}}}$ es defineix per ser el coeficient de x^b a l'expansió del polinomi (1 + x)^a.

La probabilitat és positiva quan max(0, n + m − N) ≤ k ≤ min(m, n).

La fórmula es pot entendre així: Hi ha ${\displaystyle {\tbinom {N}{n}}}$ extraccions possibles (sense reposició). Hi ha ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}}$ formes d'obtenir k boles blanques i ${\displaystyle {\tbinom {N-m}{n-k}}}$ formes d'emplenar la resta de la mostra amb boles negres.

La suma de probabilitats per a tots els valors possibles de k és igual a 1. Aquesta propietat és, en essència, la identitat de Vandermonde en combinatòria. Noteu també que la següent identitat es compleix:

${\displaystyle {{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}={{{n \choose k}{{N-n} \choose {m-k}}} \over {N \choose m}}}$