Гіпергеаметрычнае размеркаванне

Гіпергеаметрычнае размеркаванне
	Фунцыя імавернасці
	Функцыя размеркавання
Параметры
Носьбіт функцыі[en]
Функцыя імавернасці
Функцыя размеркавання	дзе — абагульненая гіпергеаметрычная функцыя[en]
Матэматычнае спадзяванне
Мода
Дысперсія
Каэфіцыент асіметрыі
Каэфіцыент эксцэсу
Утваральная функцыя момантаў[en]
Характарыстычная функцыя[en]

Гіпергеаметрычнае размеркаванне — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое апісвае імавернасць таго, што пры выпадковым выбіранні^[en] $n$ элементаў без вяртання з генеральнай сукупнасці на $N$ элементаў, $K$ з якіх маюць пэўную ўласцівасць, $k$ элементаў выбаркі будуць мець гэтую ўласцівасць. Напрыклад калі ў скрыні знаходзіцца 10 шароў, 6 з якіх чорныя ( $N=10$ , $K=6$ ), і з гэтай скрыні выпадкова выбіраецца 3 шары ( $n=3$ ), колькасць чорных шароў сярод трох выбраных будзе размеркаванай гіпергеаметрычна выпадковай велічынёй^[1]^:84-85.

Азначэнне

Выпадковая велічыня $X$ мае гіпергеаметрычнае размеркаванне (запісваецца $X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)$ ), калі яе функцыя імавернасці мае выгляд^[2]

p_{X}(k)=P(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},

дзе

$N$ — памер генеральнай сукупнасці,
$K$ — колькасць элементаў з пэўнай уласцівасцю ў генеральнай сукупнасці,
$n$ — памер выбаркі з генеральнай сукупнасці,
$k$ — колькасці элементаў з пэўнай уласцівасцю ў выбарцы,
$\textstyle {a \choose b}$ — біномны каэфіцыент^[en].

К прымае значэнні з прамежку $\max(0,n+K-N)\leq k\leq \min(K,n).$

Зноскі

[1]

[2]

Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
Носьбіт функцыі^[en]	$\scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}}\,$
Функцыя імавернасці	${{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
Функцыя размеркавання	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],$ дзе $\,_{p}F_{q}$ — абагульненая гіпергеаметрычная функцыя^[en]
Матэматычнае спадзяванне	$n{K \over N}$
Мода	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Дысперсія	$n{K \over N}{N-K \over N}{N-n \over N-1}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Каэфіцыент эксцэсу	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}$
Утваральная функцыя момантаў^[en]	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
Характарыстычная функцыя^[en]	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$