Bilineární forma
Bilineární forma je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to zobrazení z kartézského součinu dvou vektorových prostorů do tělesa, které je lineární v obou složkách.
Definice
Nechť je vektorový prostor nad tělesem
. Bilineární forma na
je každé zobrazení
, které splňuje následující podmínky, kde
a
:
Matice bilineární formy a její transformace
Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně:
Definice: Nechť je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem
a
báze v něm. Nechť
jsou vektory a
jejich vyjádření vůči
. Nechť
je bilineární forma na
.
Matice je vyjádřením bilineární formy
v bázi
pokud splňuje:
Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud a zároveň má platit
, potom:
Symetrická a antisymetrická bilineární forma
Bilineární forma se nazývá:
- symetrická, platí-li pro všechna u,v
.
- antisymetrická, platí-li pro všechna u,v
.
Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, lze každou bilineární formu rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část:
,
kde
je symetrická a
je antisymetrická.
Seskvilineární forma
Ve vektorových prostorech nad komplexními čísly se v mnoha případech (například jako skalární součin) místo bilineárních forem používají tzv. seskvilineární formy, které jsou v prvním argumentu antilineární a v druhém lineární. Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo:
pro seskvilineární formu platí:
kde je komplexní sdružení.
Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu a transformačnímu vztahu
, kde
značí matici hermitovsky sdruženou s
.
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu bilineární forma na Wikimedia Commons
Encyklopedické heslo Bilineárná forma v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích