iterativní metoda pro řešení lineární soustavy rovnic
V lineární algebře je Jacobiho metoda (též Jacobiova metoda) iteračním algoritmem pro numerické řešení soustavy lineárních rovnic. Je založena na rozkladu matice soustavy na součet dvou komponent, z nichž jedna je diagonální a je díky tomu snadné určit její inverzní matici. V nematicové formulaci postup odpovídá tomu, že v každé iteraci se použitím přibližných hodnot řešení z každé rovnice vypočítá diagonální prvek, který představuje novou iteraci a přesnější odhad řešení. Metoda je pojmenována po Carlu Gustavu Jacobim.
Řešení této úlohy je potom možno v některých případech (viz níže podmínka konvergence) získat iterací vztahu
kde je k-tá iterace a je další iterace . Po rozepsání na jednotlivé prvky mají iterace tvar
Konvergence metody
Postačující podmínkou pro konvergenci metody je, že matice A je řádkově ostře diagonálně dominantní. To znamená, že pro každý řádek je absolutní hodnota diagonálního členu větší než součet absolutních hodnot ostatních členů:
Tato podmínka není nutná. Jacobiho metoda může konvergovat i pro matice, které tuto podmínku nesplňují.
Příklad v nematicové formulaci
Řešení soustavy
spočívá v nalezení hodnoty z první rovnice, přičemž ostatní neznámé nabývají hodnoty zvolené počáteční iterací. Z druhé rovnice se podobně určí hodnota atd.
Pro počáteční iteraci (0, 0, 0, 0) je další iterace
Toto je další odhad řešení. Postup se opakuje a v tabulce jsou shrnuta přibližná řešení po pěti iteracích.
0,6
2,27272
-1.1
1,875
1,04727
1,7159
-0,80522
0,88522
0,93263
2,05330
-1,0493
1,13088
1,01519
1,95369
-0,9681
0,97384
0,98899
2,0114
-1,0102
1,02135
Přesné řešení soustavy je (1, 2, −1, 1) .
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Jacobi method na anglické Wikipedii.