Definice a vlastnosti Reálná čísla Absolutní hodnota reálného čísla a {\displaystyle a} je definována následovně:
| a | = { a , pokud a ≥ 0 − a , pokud a < 0 {\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{pokud }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{pokud }}a<0\end{cases}}} Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla a {\displaystyle a} je vždy nezáporné číslo.
Pro každé reálné číslo platí:
| a | = a 2 {\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}} | a | ≥ 0 {\displaystyle |a|\geq 0} | a | = 0 ⇔ a = 0 {\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0} | a b | = | a | . | b | {\displaystyle |ab|=|a|.|b|} | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} (trojúhelníková nerovnost ) | ( | a | ) | = | a | {\displaystyle |(|a|)|=|a|} | − a | = | a | {\displaystyle |-a|=|a|} | a − b | = 0 ⇔ a = b {\displaystyle |a-b|=0\Leftrightarrow a=b} | a − b | ≤ | a − c | + | c − b | {\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|} | a b | = | a | | b | {\displaystyle {\bigg |}{\frac {a}{b}}{\bigg |}={\frac {|a|}{|b|}}} (pro b ≠ 0) | a − b | ≥ | ( | a | − | b | ) | {\displaystyle \ |a-b|\geq {\Big |}(|a|-|b|){\Big |}} Absolutní hodnota v nerovnosti:
| a | ≤ b ⇔ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle \ |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b}
| a | ≥ b ⇔ a ≤ − b ∨ b ≤ a {\displaystyle \ |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b\lor b\leq a}
Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.
Například: | x − 3 | ≤ 9 ⇔ − 9 ≤ x − 3 ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9}
⇔ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \Leftrightarrow -6\leq x\leq 12}
Absolutní hodnota funkce | f | : y = | f ( x ) | , x ∈ D ( f ) ⊂ R {\textstyle |f|:y=|f(x)|,x\in D(f)\subset R} je funkce označovaná | f | {\displaystyle |f|} , jejíž funkční hodnoty jsou rovny | f ( x ) | {\displaystyle |f(x)|} a která má definiční obor D ( | f | ) = D ( f ) {\displaystyle D(|f|)=D(f)} .
Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:
| f | : y = | f ( x ) | = { f ( x ) , pro f ( x ) ≥ 0 , − f ( x ) , pro f ( x ) < 0 {\displaystyle |f|:y=|f(x)|=\{{\begin{aligned}&f(x),&{\text{pro}}\;f(x)\geq 0,\\&-f(x),&{\text{pro}}\;f(x)<0\\\end{aligned}}}
Funkce s absolutní hodnotou může představovat jakoukoli funkci (lineární , kvadratickou , logaritmickou , goniometrickou atd.). Pokud obsahuje absolutní hodnotu, spadá do množiny funkcí s absolutní hodnotou.[3]
Pro reálná čísla je definována funkce: f ( x ) = | x | . {\displaystyle \ f(x)=|x|.}
Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla Vlastnosti:
D ( f ) = R ; {\displaystyle D(f)=R;} H ( f ) = ⟨ 0 , ∞ ) {\displaystyle H(f)=\langle 0,\infty {\bigr )}} ;klesající v intervalu ( − ∞ , 0 ⟩ {\displaystyle {\bigl (}-\infty ,0\rangle } ; rostoucí v intervalu ⟨ 0 , ∞ ) {\displaystyle \langle 0,\infty )} ; je zdola omezená, shora omezená není; v bodě 0 má minimum, nemá maximum; spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x {\displaystyle x} = 0.Komplexní čísla Absolutní hodnota komplexního čísla | z | {\displaystyle |z|} je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině , od počátku soustavy souřadnic . Všechna komplexní čísla z {\displaystyle z} , která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu | z | {\displaystyle |z|} . Absolutní hodnoty komplexních čísel | z 1 | , | z 2 | , | z 1 + z 2 | , | z 1 − z 2 | {\displaystyle |z_{1}|,|z_{2}|,|z_{1}+z_{2}|,|z_{1}-z_{2}|} jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel z 1 , z 2 , z 1 + z 2 , z 1 − z 2 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{1}+z_{2},z_{1}-z_{2}} od počátku soustavy souřadnic.
Absolutní hodnota komplexního čísla z = a + b i {\displaystyle \ z=a+bi} , kde a {\displaystyle a} a b {\displaystyle b} jsou reálná čísla, je definována vztahem: | z | = z . z ¯ = a 2 + b 2 , {\displaystyle |z|={\sqrt {z.{\bar {z}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},} kde z ¯ = a − b i . {\displaystyle {\bar {z}}=a-bi.}
Vlastnosti:
Imaginární část b {\displaystyle b} komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla a {\displaystyle a} . Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je | z | = r {\displaystyle |z|=r} . | z | = z ⋅ z ¯ {\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}} , kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k z {\displaystyle z} .Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11). Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě. Kvaterniony viz také kvaternion
Definice normy kvaternionu: | h | = h h ∗ , {\displaystyle |h|={\sqrt {hh^{*}}},} kde h ∗ = a − b i − c j − d k . {\displaystyle h^{*}=a-bi-cj-dk.}
Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru h = a + b i + c j + d k {\displaystyle h=a+bi+cj+dk} je dána definicí: | h | = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 {\displaystyle |h|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}} , kde kde a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} a d {\displaystyle d} jsou reálná čísla.
Vektory viz také vektor
Absolutní hodnota (norma ) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 {\displaystyle {\mbox{x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}} je definována výrazem | x | = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 . {\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}.}
Pomocí souřadnic vektoru x ∈ C n {\displaystyle {\mbox{x}}\in \mathbb {C} ^{n}} v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: | x | = | x 1 | 2 + | x 2 | 2 + . . . + | x n | 2 . {\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+...+|x_{n}|^{2}}}.}
Definice vyjádřena skalárním součinem : | x | = x ⋅ x . {\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {{\mbox{x}}\cdot {\mbox{x}}}}.}
Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.
Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru V {\displaystyle V} zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:
| x | ≥ 0 {\displaystyle |x|\geq 0} (nezápornost), | x | = 0 ↔ x = 0 {\displaystyle |x|=0\leftrightarrow x=0} (definitnost), | λ x | = | λ | . | x | {\displaystyle |\lambda x|=|\lambda |.|x|} (homogenita ), | x + y | ≤ | x | + | y | {\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|} (trojúhelníková nerovnost ),pro všechny x , y ∈ V , λ ∈ C . {\displaystyle x,y\in V,\lambda \in \mathbb {C} .}
Prostory Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.
Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:
v ( a ) ≥ 0 {\displaystyle v(a)\geq 0} v ( a ) = 0 ⟺ a = 0 {\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} } v ( a b ) = v ( a ) v ( b ) {\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)} v ( a + b ) ≤ v ( a ) + v ( b ) {\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)} Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.
Jestliže v je absolutní hodnota F , pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b) , je metrikou a platí následující:
d splňuje nerovnost d ( x , y ) ≤ max ( d ( x , z ) , d ( y , z ) ) {\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))} pro všechna x, y, z , jež náleží F { v ( ∑ k = 1 n 1 ) : n ∈ N } {\displaystyle {\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}} je omezená v R v ( ∑ k = 1 n 1 ) ≤ 1 {\displaystyle v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1\ } pro každé n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} v ( a ) ≤ 1 ⇒ v ( 1 + a ) ≤ 1 {\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ } pro všechna a ∈ F . {\displaystyle a\in F.} v ( a + b ) ≤ m a x { v ( a ) , v ( b ) } {\displaystyle v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}\ } pro všechna a , b ∈ F . {\displaystyle a,b\in F.} Vztah absolutní hodnoty k funkci signum Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako
| x | = x ⋅ sgn x . {\displaystyle |x|=x\cdot \operatorname {sgn} x.}
Platí také
x = | x | ⋅ sgn x . {\displaystyle x=|x|\cdot \operatorname {sgn} x.}
Derivace Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0 , v bodě x=0 neexistuje:
d | x | d x = { − 1 x < 0 1 x > 0. {\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}
Platí tedy
d | x | d x = | x | x = sgn x . {\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {|x|}{x}}=\operatorname {sgn} x.}
Druhá derivace |x| je nula mimo hodnoty pro x=0 , kde neexistuje.
Neurčitý integrál Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:
∫ | x | d x = x | x | 2 = x 2 2 sgn x . {\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {sgn} x.}
Vzdálenost Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.
Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body
a = ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
a
b = ( b 1 , b 2 , … , b n ) {\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}
je v eukleidovském prostoru definována jako
∑ i = 1 n ( a i − b i ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}
Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako
| a − b | = ( a − b ) 2 . {\displaystyle |a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.}
Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b| , kde a i b jsou komplexní čísla
a = a 1 + i a 2 {\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}} a b = b 1 + i b 2 {\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}} , pak
| a − b | = | ( a 1 + i a 2 ) − ( b 1 + i b 2 ) | {\displaystyle |a-b|=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}
= | ( a 1 − b 1 ) + i ( a 2 − b 2 ) | {\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}
= ( a 1 − b 1 ) 2 + ( a 2 − b 2 ) 2 . {\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.}
Zobecnění Reálné zobrazení d : M × M → R {\displaystyle d:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} } se nazývá metrika , jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná a , b , c ∈ M {\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {M}}} ):
d ( a , b ) ≥ 0 {\displaystyle d(a,b)\geq 0}
d ( a , b ) = 0 ⟺ a = b {\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}
d ( a , b ) = d ( b , a ) {\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}
d ( a , b ) ≤ d ( a , c ) + d ( c , b ) {\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}
Reference Externí odkazy