Røringscirkler

Den indskrevne cirkel har sit centrum, hvor trekantens tre vinkelhalveringslinjer skærer hinanden.^[2]

Den indskrevne cirkels radius kan beregnes vha. formlen:

${\displaystyle r^{2}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$ ,

hvor ${\displaystyle a,b,c}$ er trekantens sidelængder, mens ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ er halvdelen af trekantens omkreds.^[3]

De ydre (gule) røringscirklers centre findes, hvor de (grønne) linjer, der halverer trekantsvinklernes nabovinkler, skærer hinanden. Jævnfør figur 1, af hvilken det ses, at hver af trekantens (røde) vinkelhalveringslinjer ligeledes går gennem en ydre røringscirkels centrum.^[4]

De ydre røringscirklers radiusser kan beregnes med formlen

${\displaystyle r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}}$

hvor ${\displaystyle r_{a}}$ er radius i den ydre røringscirkel, som rører siden a, og ${\displaystyle a,b,c}$ er trekantens sidelængder, mens ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ er halvdelen af trekantens omkreds.^[5].

Radius kan også beregnes ud fra kendskab til trekantens vinkler og én side:

${\displaystyle r_{a}=a\cdot {\frac {\cos {\frac {B}{2}}\cdot \cos {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}}$ ^[6].

Der gælder følgende sammenhæng mellem den indskrevne cirkels radius r, den omskrevne cirkels radius R og de 3 ydre røringscirklers radiusser:

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R,}$ ^[7].

Der er denne sammenhæng mellem røringscirklernes radiusser og trekantens areal ${\displaystyle T}$ :

${\displaystyle T^{2}=r\cdot r_{a}\cdot r_{b}\cdot r_{c}}$ ^[8].

Bogen der henvises til i note 1-8:

• Carstensen, Jens (1994). Trigonometri. systime.

• Four Circles - Program til beregning af røringscirkler